Развернуть | Свернуть

Translate page

Google составляет рейтинг сайтов на основе поведения пользователей на них. Понижает рейтинг: Зайти и тут же выйти, никуда не кликнув. Повышает рейтинг: Зайти, пару раз кликнуть по ссылкам сайта и выйти через ссылку рекламодателя.

Ошибка? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Прокл. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Предлагаемый вниманию читателя текст представляет собой отрывок из Комментария к I книге Начал Евклида, составленного Проклом Диадохом (412–480), главой Афинской Академии. Полный перевод комментария в настоящее время готовится к печати. Перевод выполнен по изданию: Proclus, In primum Euclidis elementorum librum commentarii, ed. G. Friedlein, Leipzig: Teubner, 1873. При его подготовке использовался также английский перевод, выполненный Гленном Морроу: Proclus, A commentary on the first book of Euclid’s Elements, trans. G. R. Morrow, Preinceton University Press, 1970.

[85] 1. Точка есть то, у чего нет частей.

Когда наш геометр восходит от более сложных вещей к более простым, он переходит от трижды протяжённого к ограничивающей его поверхности, от поверхности — к её границе, то есть к линии, от линии — к лишённой всякого протяжения точке; и это много раз сказано и всячески объяснено. Из-за своей простоты эти границы обычно считаются более значимыми, нежели то, что имеет сложную природу, хотя зачастую кажется, что они существуют лишь по сопричастности к тому, что ими ограничено; поэтому нам надо решить, в каком из родов сущего их следует рассматривать.

И я утверждаю, что в бестелесном, основанном на отдельных логосах и существующем в самостоятельных видах, простое всегда предшествует сложному. Поэтому и в уме, и в срединном [86] миропорядке, и в душах, ¹ и в одухотворяющей тела природе ограничивающее по своей сути превосходит ограниченное, будучи в большей степени неделимым, однообразным и начальственным; ведь среди нематериальных видов единое совершеннее множества, не имеющее частей совершеннее всего протяжённого, и ограничивающее совершеннее того, что получает свою границу от другого.

С другой стороны, у того, что нуждается в материи, основывается на ином, отделяется от своей сущности, отходит от основы и обладает только внешним единством, логосы будут в большей мере сложными, а не простыми. И в том, что подобно воображению и материи воображаемых фигур, равно как и в том, что ощущается и порождено природой, преобладают логосы ограниченного, а логосы ограничивающего производны и эпизодичны. Чтобы трижды протяжённое не простирало свою величину в бесконечность в мысли и в восприятии, оно со всех сторон ограничено поверхностями; и плоскость тоже не простирается неограниченно, но линия охватывает её и определяет её порождение; и точка делает то же самое с линией, поскольку сложное основано на простом.

И ясно также, что в отдельных видах логосы границ пребывают в себе, а не в том, что ограничено, и служат неподвижной основой для порождения вторичного. Но в том, что не отделено от материи, они передаются ограниченному, [87] утверждаясь в нём, становясь его частью и претерпевая худшее. Поэтому здесь не имеющее частей причастно делимым сущностям, и не имеющее ширины — имеющим её; и границы не могут сохранять своей простоты и беспримесности, но порождают предметы, соединённые в ином. Материя загрязняет их точность, и логос плоскости делается углублённым, логос линии размывает свою одномерную протяжённость и делается повсюду делимым, а логос точки становится схожим по виду с телом и раздаётся вместе с тем, что им ограничено. Ведь вливаясь в материю (из размышления — в умопостигаемую, а из природы — в ощущаемую), они наполняются субстратом и расходуют свою простоту в соединении и разделении чужого. Но если в уме и в душе все вещи не имеют частей и размеров, как они становятся делимыми в материи по её природе? Не потому ли, что среди нематериальных видов установлен порядок первых, средних и последних; и одни виды в большей степени однообразны, а другие множественны; и одни удерживают свои возможности в себе, а другие стремятся разделить их; и одни относятся к пределу, а другие к беспредельному? Ведь хотя всё причастно этим двум [88] началам, но одно более склоняется к одному, а другое — к другому. Поэтому там точка полностью лишена частей, а здесь, хотя её основой и служит предел, она содержит в себе скрытые возможности беспредельного, благодаря которым она порождает все протяжения. И последовательность всех протяжений ² не раскрывает всех безграничных возможностей. А тело с его логосом более причастно природе беспредельного, ведь оно ограничено со всех сторон и бесконечно делимо по всем направлениям. Прочие же виды находятся между крайними, в большей степени склоняясь или к пределу, или к беспредельному. Они и являются ограниченными, и служат границами: поскольку они могут ограничивать, они основываются на пределе, а поскольку они принимают границы от другого, они причастны беспредельному.

Точка, будучи пределом, сохраняет своё присутствие во всём, что ей может быть причастно. И она потаённо владеет беспредельным и содержится повсюду в ограниченном, теснясь там до бесконечности. Возможность там — это неограниченное порождение расстояний, а потому в возможности она рождается в причастном ей. И я утверждаю, что беспредельность там, среди умопостигаемого, служит первопричиной и порождающей способностью целого, причём в нематериальном она несовершенна и становится всем только в возможности. Потому и сказано, что вещи, не имеющие частей из-за своей простоты, занимают наивысшее положение среди начал, сохраняя особенности своей природы в причастных им видах, [89] но делают это заметно хуже сложных логосов. Ведь материя имеет в сложном более определённую долю, и подходит к нему в большей мере, чем к простым сущностям. Поэтому, хотя в неё спускаются следы самых высоких начал, всё же те, которые она получает из вторых и третьих ступеней, гораздо более заметны, и она более причастна телесным причинам, нежели плоскостным, а этим более, чем виду линий, этим же последним больше, чем все их ограничивающей и соединяющей точке. Ведь логос точки возглавляет весь этот ряд, и он сводит воедино всё, что делимо на части, соединяя и ограничивая их последовательность, проходя через всё и охватывая его отовсюду. Потому и в образах разное ограничено разным, но всё — точкой. И нам не следует думать, как это делали стоики, что эти пределы — я говорю о пределах тел — существуют лишь в чистом мышлении. Чтобы понять, что такие природы исконно содержатся в сущностях и ими управляют производящие логосы, нам стоит только посмотреть на целостный космос, его окружности, центры этих окружностей и проходящие через всё в целом оси. Ведь центры существуют на деле, удерживая вместе сферы, соединяя их расстояния, сжимая и смыкая в себе их возможности; и оси закручивают их и обводят вокруг себя, сами оставаясь неподвижными, так что сферы кружатся вокруг них. И полюсы [90] сфер, ограничивающие оси и скрепляющие собой обороты целого, — разве они не делают очевидным то, что точки обладают творческими и всеохватными возможностями и в качестве вождей обеспечивают соединение разнесённого целого и его непрерывное движение? Поэтому Платон говорит, что субстанция этих осей тверда, как адамант, что сущность их неизменна, вечна и неколебима, и что веретено в своей целокупности вращается вокруг себя и обводится единым хороводом³. Другие, более тайные учения, гласят, что демиург стоит над космосом на полюсах и божественной любовью вращает космос под собой⁴. А пифагорейцы утверждают, что полюс следует называть «печатью Реи», поскольку животворящее божество распространяет через него на вселенную свою неизрекаемую и деятельную способность, и «острогом Зевса», поскольку Зевс установил свою стражу над лоном космоса, в самой его середине. Ведь центр неподвижен, и вселенная обладает неколебимым миропорядком и непрестанным вращением, и всё сохраняет свой неизменный порядок. Повелевающие полюсами боги сводят разделённое и объединяют распределённые множественные способности, поскольку оси вынуждают круги [91] непрестанно вращаться. От себя же я добавлю, что центры и полюсы всех сфер служат символами примирительных богов, словно непознаваемые и единственные признаки; оси отпечатывают сохранение миропорядка в целом, объемля собой порядок и целостность периодов, а там это делают умопостигаемые сущности; и сами сферы служат образами совершенных богов, соединяя концы и начала, превосходя все фигуры простотой, подобием и совершенством.

Мы так много говорили об этом, чтобы показать, какими возможностями в космосе обладают не имеющие частей сущности и пределы вообще, и что своим величием они подобны первым и начальственным причинам космического порядка. Ведь центры и полюса — это не то же самое, что пределы ограниченных вещей, но они обладают действенной основой, совершенным в себе бытием и возможностями, распространёнными на всё делимое.

Большинство людей, наблюдая за несовершенством пределов ограниченного, имеют неясное представление об их бытии; и некоторые говорят, что они существуют только в отвлечённой от ощущаемого мысли, другие — что у них нет другого существования, кроме как в нашем мышлении. Однако всеобщие виды находятся и в умопостигаемой природе, и в миропорядке душ, и в природе, и, наконец, в телах. Отметим, какое место они занимают в порядке порождения [92] сущих. Все они изначально существуют в уме, но — как неделимые и единообразные, ибо они основаны на одном виде, которым они тайно и неделимо обладают по логосу точки. Все они пребывают и в душах, но уже под видом линии, и поэтому в Тимее душа составляется из прямых и окружностей, ведь каждый круг — это только одна линия. Все они пребывают и в природе, но уже по логосу плоскости. Поэтому Платон поясняет, что природные логосы служат основой для тел при посредстве плоскостей; ⁵ и разложение тел на плоскости приводит нас к непосредственной причине явлений. Все они пребывают и в телах, но здесь они приобретают телесный вид в согласии с делимой природой тел, поскольку на них основаны все виды. Следовательно, все они существуют во всём, и каждый проявляется в своём порядке и изменяется в соответствии с преобладающей способностью, и точка всюду неделима и своей простотой отличается от делимых вещей, но при понижении бытия она приобретает сущность этих делимых. Она то превосходит их своей причиной, то сонаправлена с ними; а иногда ей выпадает жребий пребывать среди них и испить от разделения последних, ослабив свою обычную неделимость. И как единица (μονάς) то порождает числа, то служит материей чисел, [93] и всегда так или иначе является началом, но никогда — числом, так и точка иногда служит основой для величин, а иногда — их началом и порождающей причиной.

Но только ли точка не имеет частей? Или таковы и «теперь» для времени и единица для чисел? Философ, рассуждающий обо всём сущем, должен в своей теории так или иначе коснуться всего делимого, равно как и всего неделимого, служащего начальной основой для делимого. А тот, кто занимается той или иной отдельной наукой (ἐπιστή­μη), исходит в своей теории из ограниченных начал, восходя лишь до них и не занимаясь втуне порядками сущего; и он применяет, рассматривает и передаёт только природу неделимого, и первым делом разделяет начала и рассматривает те простейшие, которые служат основой для его науки. В геометрической материи не имеет частей только точка, а в числовой — единица; и определение (λόγος) точки, несовершенное для другого случая, совершенно для обстоятельств этой науки. Так и врач говорит, что элементами тела являются огонь, вода и тому подобное, и он производит разложение вплоть до этого уровня, тогда как физик достигает более простых элементов. Первый определяет элемент как простейшее для ощущения, второй — как простейшее для рассуждения, и каждый прав для своей науки. [94] А поэтому мы не должны считать определение точки ошибочным или несовершенным. Ведь для геометрической материи и её начал оно вполне подходит. Наш геометр ясно говорит, что «для меня неделимое есть точка и начало, и для меня нет ничего простого, кроме неё», — и именно так нам его следует понимать. Отрицая наличие у неё частей, Евклид показывает нам, что она служит началом всей природы, подлежащей нашему рассмотрению. Отрицательные определения (ἀπο­φα­τικοὶ λόγοι) характерны для начал, как учит нас Парменид, устанавливая первую и последнюю причину через одни только отрицания ⁶. Всякое начало имеет иную сущность, нежели зависящее от него, и отрицание последнего проясняет для нас особенность первого. И через такой путь обучения познаётся сама причина, а не то, что этой причине подчинено.

Кто-то может равно указать на такую трудность: как геометр может созерцать в воображении не имеющую частей точку, если воображение всегда имеет дело с оформленным и делимым? Ведь воображение по природе приемлет не только суждения разума, но и отражения мысленных и божественных видов, простираясь от форм до бесформенного и от фигур до бесфигурного. На эту трудность мы отвечаем, что движение воображения не является по своему виду ни только делимым, ни только неделимым, [95] но оно идёт от неделимого к делимому и от бесформенного к оформленному. Ведь если оно только делимо, в нём невозможно сохранять многочисленные оттиски видов, поскольку замещающие будут размывать то, что было прежде, — как и тело не может в одно время и в одном месте иметь многие формы, но вторые по порядку будут закрывать собой первые. А если оно только неделимо, разум не будет подчинён душе, которая всё созерцает неделимым, и он не сможет производить формирующих действий. Ведь необходимо, чтобы они начинались в неделимом, исходили из него и продвигались к каждому познаваемому виду, доставляя ему форму, фигуру и протяжение. И если оно имеет такую природу и в нём наличествует неделимость, тем самым оно имеет названную сущность точки. Но в нём будет схвачен также и вид линии. Обладая двойным характером делимого и неделимого, воображение содержит и неделимую точку, и делимые расстояния.

Поскольку пифагорейцы определили точку как единицу, имеющую положение, нам надо исследовать, каков смысл сказанного ими. Всякому ясно, что числа чище и нематериальнее величин, и начало чисел проще начала величин. Но когда они говорят, что единица имеет положение, [96] я думаю, что они считают единицу и число — я говорю о единичном числе — сущими в мышлении. Поэтому каждое число, будь то пять или семь, возникает в каждой душе не как многое, будучи свободным от привходящих фигур или форм. А точка вбрасывается в воображение, как бы рождаясь в некотором месте, и воплощается в мысленной материи. Так что единица не имеет положения, ибо она нематериальна, и у неё нет никакого протяжения и места; а точка имеет положение, ибо она представляется воплощённой в лоне воображения. И благодаря общности с началами единица проще точки (στιγμή)⁷. А точка, как имеющая положение, следует за единицей, и сделанные при этом добавления завершают ослабление бестелесности.

2. Линия — длина без ширины.

Линия находится на втором месте, как первое и простейшее протяжение, которое наш геометр называет длиной, добавляя «без ширины», ⁸ потому что линия относится к поверхности как начало. О точке, как о начале всех величин через единицу, он учит нас только через отрицание, а о линии — и через утверждение, и через отрицание. Будучи длиной, она вышла за неделимость точки; [97] но, не имея ширины, она чиста от других протяжений. «Без ширины» — это и «без глубины», но не наоборот. Говоря «без ширины», он подразумевает и «без глубины», и он потому не добавляет «без глубины», что это входит в понятие «без ширины».

Линия определяется и другими способами. Одни говорят, что это течение точки⁹, другие — что это величина с одним протяжением¹⁰. Последнее определение в совершенстве обозначает сущность линии, но когда говорят, что она представляет собой течение точки, её объясняют через порождающую причину, а это годится не для всякой линии, но только для материальной¹¹. Бытие такой линии основано на неделимой точке, каковая служит причиной всего делимого. А течение означает продвижение и порождающую способность, простирающуюся по всем направлениям без ослабления, оставаясь собой, и являющуюся сутью всего делимого.

Всё это общеизвестно. Мы же вспомним здесь об учении пифагорейцев, согласно которому точка аналогична единице, линия — двойке, поверхность — тройке, тело — четвёрке. С другой стороны, взяв их как протяжения, в основе линии мы найдём единицу, в основе поверхности — двойку, в основе тела — тройку; и Аристотель говорит, что тело завершается в тройке. ¹² Не удивительно, что точка из-за своей неделимости исходно связана с единицей; а сущности, следующие за точкой, основаны на числах, следующих за единицей, [98] и сохраняют к точке то же отношение, что и числа к единице; при этом каждая из них причастна стоящей перед ней, и имеет такое же отношение к следующей за ним, что и её предшествующее — к ней самой. Я утверждаю, что линия для точки будет двойкой, а для поверхности — единицей; и поверхность для точки и линии будет тройкой, а для тела — двойкой; и тело для точки будет четвёркой, а для линии — тройкой. Оба порядка имеют своё объяснение, но предложенный пифагорейцами ближе к началам, как пришедший свыше и сообразный с природой. И точка двойственна, ибо она существует и сама по себе, и в линии. Будучи пределом и единством, она не имеет ни целого, ни частей, подражая вершине сущего и благодаря этому оказываясь аналогом единицы. Ведь и оракул говорит о «первой и отеческой единице». Линия же — первое, что имеет часть и целое; и она по своей сути является и единицей, как имеющая одно протяжение, и двойкой — через продвижение. Будучи неограниченной, она причастна неопределённой двойке, а будучи ограниченной, она имеет два предела, здесь и там; поэтому она подражает целостности, [99] а в порядке бытия она и длит единицу, и порождает двойку. Ведь она вытягивается в длину, и её одна протяжённость причастна двойке. Поверхность же по своей сути — это и тройка, и двойка; будучи хранилищем первых фигур и впервые обладая формой и видом, она как тройка ограничивает первую сущность и природу, а как двойка — разделяет их. А тело, протяжённое трижды, определяется четвёркой, обнаруживающей как охват всех логосов в идеальном миропорядке, так и различение телесного космоса, и разделение целого натрое происходит через порождающую и женскую четвертичную особенность. Подробнее это будет рассмотрено ниже. Поскольку линия идёт второй и получает существование при первом движении от неделимого, учение пифагорейцев называет её двоичной. То, что точка следует за единицей, линия — за двойкой, и поверхность — за тройкой, Парменид поясняет, сперва отрицая множественность единого, а затем и целого¹³. Если многое предшествует целому, то и число предшествует непрерывному, и двойка — линии, и единица — точке. Ведь не называют «многим» единицу, порождающую [100] многое, <…> ¹⁴ и о нём говорят как об имеющем части. Вот что может быть сказано о линии, исходя их теоретических намерений.

Нам следует также рассмотреть сказанное последователями Аполлония¹⁵ о том, что понятие линии мы приобретаем броском мысли (επιβολή)¹⁶, когда измеряем одну только длину, как в случае дороги или стены. Ведь мы при этом не берём в расчёт ширину, но учитываем только длину. И если мы измеряем площадь, мы смотрим только на поверхность, а если водоём — на тело. В последнем случае мы берём все протяжения совместно и объявляем, каковы измерения водоёма — его длина, ширина и глубина. А чувственное восприятие линии мы получаем, глядя на разделение освещённого и затенённого места, будь то на луне или на земле. Ведь среднее между ними непротяжённо по ширине, но имеет длину, вытянувшись вдоль света и тени.

[101] 3. Края линии — точки.

Всякое сложное получает свою границу от простого, и всякое делимое — от неделимого. Образы этого представлены в началах математики. Ведь когда наш автор говорит, что линия ограничена точками, ясно, что он производит её неограниченно, не имея в ней самой никакого предела. Так что как двойка ограничена единицами и ограничивает свой неудержимый порыв под их властью, так и линия ограничена точками. Будучи двувидной, она двойственным образом причастна точке, обладающей логосом единицы. В воображаемом и ощущаемом сами точки на линии ограничивают эту линию, но в нематериальном исходно существует неделимый логос точки. Выходя отсюда, он первым делом распространяет себя, движет и течёт до бесконечности, и, подражая неопределённой двойке, он утверждает собственное начало, объединяя и охватывая его повсюду. Поэтому он одновременно безграничен и ограничен: безграничен в своём продвижении, ограничен по причастности ограничивающей причине. Ведь в своём продвижении он подчинён ей и ограничен её единством. И среди образов точки те, [102] которые служат началом и концом линии, названы её границами. Там предел превосходит то, что им ограничено, здесь же он двойственен: ведь он существует в ограниченном. И это даёт удивительное показание в пользу того, что виды, пребывающие в себе, в качестве причин предшествуют тем, которые им причастны; но, вручая им себя, они заимствуют от них некоторые особенности, становясь вместе с ними множественными и делимыми на части, и удовлетворяясь делением своей основы.

О линии надо сказать заранее, что наш геометр пользуется ей трояко. Он берёт её то как ограниченную с обеих сторон, как в задаче «на данной ограниченной линии построить равносторонний треугольник»¹⁷, то как неограниченную с одной и ограниченную с другой стороны, как в задаче «построить треугольник из трёх прямых, равных трём данным прямым» (ведь в построении он говорит «возьму прямую, ограниченную с одной и неограниченную с другой стороны»)¹⁸, <то как неограниченную с обеих сторон, как в задаче «на данную неограниченную линию опустить перпендикуляр из точки вне неё»>¹⁹. Так что линию он берёт трояко.

Будет неправильно упустить из виду ещё один важный вопрос: когда о точках говорят как о границах линии, [103] и о какой линии здесь идёт речь? Границами неограниченной линии они быть не могут, но и всякой ограниченной тоже. Ибо имеется ограниченная линия, граница которой — не точка. Такова круговая линия, замкнутая на себя и не пользующаяся точками как пределами, в отличие от прямой; таков и овал. Ведь не всегда линии нужно быть ограниченной. А если взять дугу окружности или часть линии овала, то они будут ограничены точками. Кругу и овалу присущи и другие особенности, когда они берутся не только как линии, но и как границы фигур. Взятые как линии, они ограничены точками; но в качестве того, что порождает фигуры, они будут замкнуты на себя. Представив их вычерчиваемыми, мы найдём, что они ограничены точками; но взяв их уже начерченными, когда начало сомкнулось с концом, мы не сможем помыслить их пределы.

4. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках.

Платон полагает два вида линий простейшими и изначальными, и это прямая и [104] окружность; а все другие он выводит из смешения этих двух, говоря о спиралевидных линиях, будь то плоских или на поверхности тел, и о кривых линиях, которые получаются рассечением тел. Согласно Платону, точка, если можно так выразиться, служит образом единого. Ведь единое тоже не имеет частей, как он показал в Пармениде. ²⁰ Поскольку имеются три ипостаси ниже единого — предел, беспредельное и смешанное, — на них основаны виды линий, углов и фигур. Аналогами предела на плоскости служат окружность, круг и угол между окружностями, а среди тел — сфера. Беспредельному всюду соответствует прямое, и его можно вообразить для всех этих случаев. Смешанному же соответствует смешанное: ведь имеются смешанные линии, и таковы спирали; и углы, каковы полукруговой и роговидный; ²¹ и фигуры, каковы сечения и арки; и тела, а именно конусы, цилиндры и подобные им. Так что предел, беспредельное и смешанное имеются повсюду. Суждение Аристотеля совпадает с суждением Платона. Он говорит, что виды линии — это прямая, окружность и их смешение²². И движений тоже три: прямое, круговое и смешанное.

Некоторые оспаривают это разделение и утверждают, что имеются не две простые линии, [105] а три, добавляя к ним цилиндрическую спираль, которая получается, когда прямая равномерно движется по поверхности цилиндра, а точка — по прямой. И так возникает спираль, во всякой своей части подобочастно (ὁμοιο­με­ρῶς) ²³ совпадающая с собой, как это показал Аполлоний в трактате Об улитках. Это свойство имеется только у этой спирали. Ведь части плоской спирали неподобны между собой, и у спиралей на конусах или сферах они неподобны тоже. Только цилиндрическая спираль подобочастна, как и прямая и круговая линии. А потому не имеются ли три простые линии, а не только две?

На эту трудность мы ответим, что такая спираль в самом деле будет подобочастной, как показал Аполлоний, но она не будет простой. Ведь быть подобочастным и простым — это не одно и тоже. Среди природных составов золото и серебро являются подобочастными, но не простыми. Ясно, что по своему происхождению цилиндрическая спираль смешана из простых линий. Ведь она получается движением прямой вокруг оси цилиндра и переносом точки вдоль этой прямой. Она получает существование от двух простых движений, так что является смешанной линией, а не простой. Ведь основанное на неподобных является не простым, но смешанным, и правильно говорит Гемин, [106] что и простая линия может быть получена из многих движений, однако не всякая такая линия будет смешанной, но лишь та, что возникла из неподобных движений. Представь себе квадрат; и пусть два движения с равными скоростями, одно по длине, другое по ширине, порождают диагональ, которая будет прямой. Однако эта прямая не будет смешанной: ведь она не произведена на свет простым движением отличной от неё линии, как это происходит в случае упомянутой цилиндрической спирали. Неверно также, что круговая линия получается смешением, если представить, как середина прямой линии, скользящей по сторонам прямого угла, описывает окружность. Здесь концы прямой движутся равномерно, описывая прямые²⁴, а середина — неравномерно, описывая окружность; другие же точки описывают эллипсы. Так круговая линия получается в результате неравномерного движения середины, и при этом прямая линия скользит по сторонам прямого угла, а не движется по своей природе. Но об этом достаточно.

Кто-то может считать, что хотя обе линии, прямая и окружность, являются простыми, но прямая всё же проще. Ведь в её понятии нет никакого неподобия, а у окружности различаются выпуклость и вогнутость. И понятие прямой не предполагает понятия окружности, тогда как окружность [107] предполагает прямую, если не через порождение, то через связь с центром. А что поделать, если кто-то говорит, что окружность основана на прямой? Ведь когда один конец прямой неподвижен, а другой движется, при этом описывается круг, центром которого служит неподвижный конец. Следует ли нам ответить, что круг описывает не прямая, но точка, обносимая вокруг середины? Прямая лишь определяет расстояние, а круговую линию задаёт точка в её круговом движении. И об этом тоже сказано достаточно.

Кажется, что окружность принадлежит к пределу, и к другим линиям она имеет такое же отношение, как и предел ко всему прочему: ведь из простых линий только она одна образует фигуру. А прямая принадлежит к беспредельному, ибо её можно беспредельно продолжать. И как всё прочее образуется из предела и беспредельного, так и весь род смешанных линий — из окружности и прямой, будь то на плоскости или на поверхности тел. По этой причине и душа исходно содержит в своей сущности прямое и круговое, так что она может обозревать в космосе весь состав безграничного и всю природу ограниченного, основывая продвижение на прямой, а возвращение на окружности, [108] одной линией уводя их к множеству, а другой собирая в единство.

И такова не только душа, но также и основатель души (ὁ τὴν ψυχὴν ὑποστήσας), заложивший в неё обе эти способности в качестве прирождённых причин. Ведь «собрав воедино все начала, середины и концы, он ограничил всё это прямым путём, вращаясь вокруг согласно природе», как сказал Платон²⁵. Он подходит ко всему со своим задуманным делом, и возвращается к себе, «пребывая в своей обычной природе», как говорит Тимей ²⁶. Прямая служит символом неизменного, неизогнутого, незапятнанного и непрестанного промысла, всемогущего и вездесущего; а окружность и кружение — это символы обращённой к себе и сосредоточенной в себе деятельности, и она управляет целым с помощью мыслимого предела. Демиургический ум утвердил в себе оба эти начала, прямую и окружность, и вывел из себя две единицы: одна из них действует по окружности и совершенствует умопостигаемые сущности, а другая — по прямой, порождая ощущаемое. А поскольку [109] душа есть среднее между умопостигаемым и ощущаемым, то, соединяя мыслимые природы, она действует по кругу, а управляя ощущаемыми, она выводит свой промысел по прямой. И таким же образом подобие этих видов относится к сущему.

Определив прямую как сказано выше, Евклид поясняет, что только прямая имеет равные промежутки между своими точками. Ведь величина прямой определяется от одной до другой ограничивающей её точки. А это и значит «равно лежит на всех своих точках». Если же взять две точки на окружности или на какой-нибудь другой линии, то длина самой линии между этими точками будет больше расстояния между ними. И ясно, что таковы все линии, кроме прямой. И по общему понятию (κατὰ κοινὴν ἔννοιαν) идущие по прямой проходят только необходимое расстояние, а идущие не по прямой проходят больше необходимого.

А Платон определяет прямую линию как такую, у которой середина заслоняет края²⁷. Это необходимо для того, что лежит на прямой, но не обязательно для окружностей или других расстояний. Поэтому астрономы говорят, [110] что Солнце затмевается, когда оно, Луна и наш глаз оказываются на одной прямой. Ведь тогда наш взгляд перехватывается Луной, которая оказалась между Солнцем и нами. И это свойство прямой равным образом показывает, что и в сущем, когда вещи происходят от своих причин, средние производят разделение сообщающихся краёв; а при возвращении они приводят к начальным причинам то, что от них отделено.

А Архимед определяет прямую линию как кратчайшую из всех, имеющих те же самые края²⁸. Ведь определение Евклида говорит, что она равно лежит на своих точках; а потому она будет кратчайшей из всех, имеющих те же самые края. А если бы она не была кратчайшей, она не лежала бы равно между своими краями. И все другие определения прямой сводятся к одному и тому же понятию: это самая натянутая линия между краями, и ни одна её часть не лежит выше или ниже плоскости, и все её подобные части прилажены друг к другу, и когда её края неподвижны, неподвижна и она сама, чего нет ни у какой другой однородной фигуры. Всё эти свойства прямой означают её простоту и то, что она служит кратчайшим путём от одного до другого конца. Это всё об определении прямой [111] линии.

Гемин²⁹ первым делом разделяет линии на несоставные и составные, называя составной линией ту, которая образует угол на изломе. Затем он делит несоставные на производящие фигуру и простирающиеся в бесконечность. Он говорит, что фигуру производят круговые и овальные линии, а также циссоида³⁰; а не производят фигуру сечения прямоугольного и тупоугольного конуса³¹, конхоида³², прямая и все им подобные. А иным способом он делит несоставные линии на простые и смешанные. К простым из производящих фигуру относится круговая линия, а из беспредельных — прямая. Из смешанных одни будут плоскими, другие — телесными. Из плоских одни сходятся с собой, как циссоида, а другие простираются в бесконечность; а из телесных одни познаются через сечение тел, другие — как лежащие на телах. Так сферическая или коническая спираль лежит на теле, а конические или спирические сечения³³ образуются через сечение тел. Некоторые из этих сечений, в частности конические, были открыты Менехмом³⁴, о чём повествует Эратосфен ³⁵: «конуса ты не секи, корня Менехма триад» ³⁶; другие — Персеем ³⁷, который составил эпиграмму о своём [112] открытии:

«Открыв в пяти сечениях три линии,
Персей решил богам их посвятить».

Три сечения конуса — это парабола, гипербола и эллипс. Из спирических сечений одно связано, наподобие лошадиных пут, ³⁸ другое широко посредине и утончается к концам, третье вытянуто и имеет перемычку посредине и расширения на концах. Другие смешанные линии неограниченны по количеству: ведь количество телесных фигур бесконечно, и их сечения многовидны. Ведь если прямая производит поверхность круговым движением, то это же делают и конические линии, и конхоиды, и сами окружности. И если такие тела рассекать всеми способами, то получатся многообразные виды линий.

Из линий на поверхности тел одни будут подобочастными, как цилиндрическая спираль, другие неподобочастными, и таковы все остальные. Из этих разделений получается, что имеются только три подобочастные линии: прямая, окружность и цилиндрическая спираль; причём две плоские — простые, одна телесная — смешанная. Доказательство этого предваряется леммой Гемина о том, что если [113] из точки к подобочастной линии проведены две прямые, образующие с ней равные углы, то и сами эти прямые равны между собой. Любознательные читатели найдут опущенное доказательство в его трудах, где излагается также порождение спирических линий, конхоид и циссоид. Мы изложили их названия и разделения, чтобы побудить одарённых учащихся к поиску, в настоящем же изложении мы сочли эти изыскания излишними, поскольку наш геометр объясняет нам только простые и изначальные линии: прямую в настоящем определении и окружность при обсуждении круга (ведь там он говорит, что линия, ограничивающая круг, есть окружность). Смешанных же линий он совсем не упоминает. Но ему известны смешанные углы, такие как полукруговые и роговидные, и смешанные плоские фигуры, сегменты и секторы, и тела, как конусы и цилиндры. Для каждого из этих родов он приводит по три вида, и только для линий два, прямую и окружность, считая, что в этом сочинении о простых началах надо рассматривать простые и важнейшие виды. А все остальные линии являются составными. Поэтому, следуя нашему геометру, мы завершаем разделение на этих простых линиях.

[114] 5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

За точкой и линией идёт поверхность, дважды протяжённая в длину и в ширину; а глубины у неё нет, так что по природе она проще того, что имеет три протяжения. И наш геометр после упоминания о двух протяжениях добавляет «только», поскольку у поверхности нет третьего протяжения. Это равносильно отрицанию глубины, так что он через отрицание отмечает здесь превосходную простоту поверхности в сравнении с телом (ибо такое добавление равносильно отрицанию), а через утверждение — её слабость в сравнении с предыдущими сущностями. Другие определяют её как границу тела, говоря по сути дела то же самое (ведь граница меньше ограниченного на одно протяжение), или как дважды протяжённую величину, и они иначе обозначают то же самое.

Говорят, что мы приобретаем понятие о поверхности, измеряя площади и определяя длину и ширину их границ; ощущением же мы воспринимаем его, глядя на тени, у которых, поскольку они не уходят под землю, нет глубины, а есть только длина и ширина. [115] Пифагорейцы говорили, что поверхность посвящена тройке, ведь все фигуры на ней имеют тройку своей первопричиной. Ибо круг, как начало окружностей, скрывает в себе тройку: центр, радиус, окружность. И треугольник, как вожатый всех прямолинейных фигур, очевидно таков же: ведь он удерживается тройкой и формируется ей.

6. Края поверхности — линии.

После сказанного весьма правдоподобно, что всякое сущее, которое проще того, что следует прямо за ним, служит ему границей и краем. Душа ограничивает и завершает дело природы, и природа делает то же с движением тел, а ум, предшествующий им обеим, отмеряет круговращения души, а для жизни самого ума это выполняет единое, которое служит мерой всего. Точно так же и тело ограничено поверхностью, поверхность — линией, а линия — точкой, которая служит границей всего. В нематериальных видах и неделимых логосах линия, однообразная в своём продвижении, ограничивает и собирает разнообразное движение поверхности [116] и приводит её бесконечность к единству; тогда как в образах ограничивающее порождает ограниченное, тем самым придавая ему границу.

Если кто-нибудь спросит, как линии могут быть границами всех поверхностей, тогда как не все поверхности ограничены линиями (ведь поверхность сферы ограничена не линией, а сама собой), мы ответим ему, что взяв двояко протяжённую поверхность, мы обнаружим, что она ограничена линиями по длине и ширине; но, рассмотрев сферическую поверхность, формирующую себя и приобретающую дополнительное качество, мы увидим, что в ней начало соединено с концом, производя из двух пределов один, и это единство присуще ей лишь в возможности, но не на деле ³⁹.

7. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

Древние философы по виду не различали плоскости (ἐπίπεδον) от поверхности (ἐπι­φά­νεια), но пользовались обоими этими названиями для дважды протяжённой величины. И божественный Платон говорил, что геометрия есть изучение плоскостей, в отличие от стереометрии⁴⁰, считая, что плоскость и поверхность — это одно и то же. Так же полагал и вдохновенный Аристотель⁴¹. Однако Евклид и его последователи считают поверхность родом, а плоскость видом, подобно линии [117] и прямой. По аналогии с прямой он определяет плоскость отдельно от поверхности. Ведь как о линии сказано, что она лежит в промежутке между двумя взятыми точками, так и плоскость равно занимает место между двумя прямыми. Это значит, что она равно лежит на всех своих линиях. Другие, подразумевая то же самое, говорили, что она натянута к краям; и ещё, что ко всем её частям прилаживается прямая. Говорят также, что это наименьшая из всех поверхностей с данными краями⁴², и что её середина закрывает края, — и все эти определения можно перенести с прямой на плоскость, только сменив род. Ведь мы уже сказали, что прямизна, закруглённость и смешанность начинаются с линий и доходят до тел. И по аналогии они имеются и у поверхностей, и у тел. Так и в Пармениде сказано, что всякая фигура является прямой, округлой или смешанной⁴³. И если ты хочешь представить прямизну в поверхностях, возьми плоскость, к которой всюду прилаживается прямая; для округлости — сферическую поверхность, для смешения — цилиндр, конус или что-нибудь схожее с ними.

Но Гемин говорит, что нам следует различать способ, которым осуществляется смешение в так называемых смешанных линиях и смешанных поверхностях. Смешение в линиях не идёт ни через соположение (κατὰ σύν­θε­σιν), [118] ни через слияние (κατὰ κρᾶ­­σιν)⁴⁴. К примеру, спираль является смешанной, не имея ни прямой, ни круговой части, как при смешении через соположение; и при её рассечении не обнаруживается простых составляющих, как при слиянии, ведь они переплетены в ней вместе. Так что математик Феодор ⁴⁵ ошибается, считая, что смешение в линиях происходит через слияние. Смешение же в поверхностях происходит не через соположение и не через разрушение (κατὰ σύγχυσιν)⁴⁶, но скорее через слияние. Представим круг на плоскости и точку над ним. Проведя из точки прямую к обводу круга и совершив оборот, мы получим коническую поверхность, и она будет смешанной. Вновь рассечём её, разлагая на простейшие. Проводя это сечение через вершину к основанию, мы получим треугольники, а вдоль основания — плоские круги. Присущий линиям способ смешения не обнаруживает слияния, поскольку он не возвращает нас к простейшей природе элементов. Тогда как поверхности при рассечении прямо показывают, из каких линий они возникли. И поэтому, как сказано, способ смешения в линиях и в поверхностях различен.

И как среди линий простыми являются только прямая и окружность, и даже необученные люди имеют о них [119] предварительное представление ⁴⁷, тогда как смешанные виды требуют более искусного понимания, так и среди поверхностей к элементарным видам относятся плоскость и сфера, которые понятны сами собой, тогда как для открытия множества смешанных поверхностей требуется знание и соответствующее рассуждение.

И удивительно, что из окружностей может быть получено множество смешанных поверхностей. Мы говорим, что таковы спирические поверхности, которые получаются вращением прямо выставленного круга вокруг фиксированной точки, не являющейся центром круга⁴⁸. Три вида спирик возникают, когда центр лежит на обводе круга, либо внутри него, либо снаружи. Если центр лежит на обводе, возникает сплошная спирика, если внутри — переплетённая, если снаружи — разделённая. И спирических сечений тоже три, по этим трём разделениям⁴⁹. И всякая спирика будет смешанной, при том что смешивается она круговым движением.

Смешанные поверхности возникают не только движением простых линий, как уже названные, но и сложных тоже. Три конических линии порождают четыре конических поверхности, так называемые коноиды⁵⁰. Вращением параболы вокруг её оси получается прямоугольный коноид; вращением эллипса получаются так называемые сфероиды: когда вращение происходит вокруг большой оси — [120] удлинённый, когда вокруг малой — сплющенный; и вращением гиперболы получается другой коноид⁵¹.

Заметим, что иногда мы получаем понятие поверхностей от линий, а иногда наоборот. К примеру, через конические и спирические поверхности мы постигаем конические и спирические линии.

И надо уяснить следующее различение между линиями и поверхностями: имеются три подобочастные линии, как было сказано выше, и только две поверхности, плоская и сферическая, — но не цилиндрическая. Ведь не все части цилиндрической поверхности могут совмещаться друг с другом⁵². О различении поверхностей сказано достаточно.

Наш геометр выбрал одну из них, плоскость, в качестве основы, на которой будут рассматриваться фигуры и их свойства. Ведь рассуждение для неё будет легче, чем для других поверхностей. На ней можно мыслить прямые, круги, спирали, отрезки кругов и прямых, касания и приложения, и строить все виды углов; на других же поверхностях не всё это можно наблюдать. Ведь как мы возьмём прямую или прямолинейный угол на сфере? И как мы будем рассматривать отрезки кругов и прямых на конусах и цилиндрах? Так что он определяет именно эту поверхность [121] и имеет дело всецело с ней. Это занятие называется плоской геометрией, и нам следует представлять себе плоскость, предстоящую нашим глазам, и изображать на ней всё, о чём мы размышляем, так что воображение становится чем-то вроде плоского зеркала, на котором размышляющее рассуждение оставляет свои следы.

8. Плоский угол — это наклон друг к другу двух линий, которые в плоскости встречают друг друга и не лежат на одной прямой.

Некоторые из древних включали угол в категорию соотнесённого (πρός τι), называя его наклоном линий или плоскостей друг к другу; другие относили его к качеству, говоря, что угол, подобно прямому и кривому, представляет собой определённое свойство поверхности или тела; иные же утверждали, что это поверхностное или плоское количество. Ведь на поверхности он делим линией, а в телах — поверхностью. А то, что делимо, может быть только величиной, причём не линейной, поскольку линия делима точкой. Так что ей остаётся быть плоской или телесной.

Однако если угол — это величина, и все конечные однородные величины имеют отношение (λόγος) между собой, то тогда [122] все однородные углы — скажем, все плоские, — должны иметь отношение между собой, в том числе и роговидный угол к прямолинейному. Однако все величины, имеющие отношение между собой, могут, взятые кратно, превосходить одна другую⁵³. Но тогда роговидный угол может превзойти прямолинейный, что невозможно. Ведь доказано, что он меньше любого прямолинейного угла⁵⁴.

Если же угол — только качество, как тепло или холод, как он может быть разделён на равные части? Ведь равенство и неравенство присуще углам не меньше, чем величинам, и делимость целого одинаково присуща тем и другим. Но если вещи, которым это присуще, суть количества, а не качества, то ясно, что углы не будут качествами. Свойства количества — быть бóльшим и меньшим, равным и неравным. Но мы говорим о неравных углах, большем и меньшем, а не о том, что один угол является более углом, а другой менее. Каждый может видеть, что это чуждо природе математики; ведь у всех углов одно определение, и один угол не более угол, нежели другой.

Что касается третьего случая, если угол является наклоном, и в целом — соотнесённым (πρός τι), то тогда одному наклону соответствует один угол, а не многие. Ведь если угол — не что иное, как сопряжение (σχέσις) линий или плоскостей, как может быть одно сопряжение, но много углов? [123] Но если ты представишь себе конус, рассечённый треугольником от вершины до основания, ты увидишь при вершине полуконуса один наклон линий треугольника, но два разных угла: один — плоский угол треугольника, другой — угол на смешанной поверхности конуса; однако оба эти угла ограничены двумя упомянутыми линиями. Стало быть, сопряжение линий не производит угла. Однако нам следует назвать угол либо качеством, либо количеством, либо соотнесённым. Фигуры — это качества, отношения (λόγοι) фигур между собой — это соотнесения (πρός τι). И нам следует отнести угол к одному из этих трёх родов.

Таковы возникающие здесь затруднения, и Евклид называет угол наклоном, а Аполлоний — схождением поверхности или тела к одной точке под ломаной линией или поверхностью (так он определяет общее понятие угла). Но мы вслед за нашим вождём ⁵⁵ скажем, что угол — это не что-то одно, но сплетение одного с другим, так что в нём соединяются все эти сущности; и поэтому те, кто склоняют его к чему-то одному, создают затруднения. И таков не только угол, но и треугольник тоже. В нём имеется и количество, поскольку о треугольниках говорят как о равных или неравных, и материей для этого служит количество; но ему присуще и качество, по его фигуре. Потому о треугольниках говорят и как о подобных, [124] и как о равных, где одно взято от одной категории, а другое — от другой. Также и угол по своей величине относится к количествам, а по своей форме и характеру существования — к качествам, и в нём присутствует также сочетание ограничивающих его линий или охватывающих его поверхностей. И угол состоит из всего этого, а не из чего-то одного. Он делим и подвержен равенству и неравенству по своему количеству; но всё-таки об углах не говорят как об однородных величинах, потому что им присуще и качество, из-за которого углы зачастую оказываются несравнимыми между собой. Но угол может быть не один, когда наклон один, потому что между его наклонными заключено некоторое количество. И если мы обратим внимание на эти разделения, затруднения будут разрешены, и мы обнаружим, что особая сущность углов — не в схождении поверхности или тела, как говорит Аполлоний, хотя оно и вплетено в их сущность; и скорее это сама сходящаяся к точке поверхность, ограниченная наклонными линиями, нежели одна ломаная линия, или сходящееся тело, ограниченное наклонными поверхностями. Так что угол можно определить как [125] окачествленное количество в некотором сочетании, но не одно лишь количество, и не одно лишь качество, и не одно лишь сочетание. Вот что нужно сказать о сущностной основе углов, чтобы получить предварительное представление обо всём роде углов, до его разделения на виды. Таковы три мнения об угле.

Перипатетик Евдем⁵⁶, написавший книгу Об угле, объявил его качеством⁵⁷. Размышляя над возникновением угла, он сказал, что оно состоит в изломе линии; и как прямизна является качеством, так и излом тоже; так что если возникновение угла содержится в качестве, то он конечно будет качеством. Евклид же и его последователи считали угол наклоном, причисляя его к отношениям (πρός τι). А количеством его называли те, кто говорил, что угол — это первое расстояние от точки⁵⁸, и этого мнения придерживались Плутарх⁵⁹ и Аполлоний. Они говорили, что в наклоне объемлющих линий или плоскостей должно иметься первое расстояние. Но поскольку расстояние от точки является непрерывным, невозможно взять первое. Ведь всякое расстояние делится до бесконечности. Кроме того, даже если бы мы смогли определить первое расстояние и провести через него прямую, получился бы треугольник, а не угол. Карп Антиохийский⁶⁰ сказал, [126] что угол — это количество, а именно, протяжение между охватывающими его линиями или поверхностями. И хотя это протяжение — однократное, угол из-за этого ещё не становится линией, поскольку не всякое однократное протяжение характеризует линию. Однако парадоксально, если имеется величина, однократно протяжённая и не являющаяся при этом линией. Но об этом достаточно.

Заметим также, что одни углы являются поверхностными, другие — телесными: и из поверхностных одни будут простыми, а другие смешанными. Углы возникают и на цилиндрических поверхностях, и на конических, и на сферических, и на плоских. Из тех, что на простых поверхностях — одни на сферических, а другие на плоских. К примеру, зодиак пересекает круг равноденствий под двумя углами с вершинами в пересечениях. И это углы на сферических поверхностях. На плоскостях же одни углы ограничены простыми линиями, другие — смешанными, третьи — линиями обоих видов. К примеру, в овале таков угол, охваченный осью и обводом овала. Одна линия здесь смешанная, другая простая. И если круг пересекается с овалом, возникает угол между его обводом и обводом овала. Когда линии циссоиды сходятся к одной точке, как листья плюща, — а она по нему и названа — они образуют угол, очевидно охваченный смешанными линиями. И когда [127] гиппопеда, одна из спирических линий, образует угол сама с собой, его охватывают смешанные линии. Углы между прямыми и окружностями охватываются простыми линиями. И опять, некоторые из них охвачены сходными линиями. Ведь когда две окружности пересекаются или касаются, они образуют углы трёх видов: двояковыпуклые, когда обе окружности выпуклы наружу, двояковогнутые, когда снаружи находятся две вогнутости, и ещё они называются скребкообразными, и смешанные, между выпуклым и вогнутым, каковы углы луночек. И угол может охватываться окружностью и прямой, причём двояко: прямой и выпуклым обводом, как у полукруга, и прямой и вогнутым обводом, каков роговидный угол⁶¹. Углы, охваченные двумя прямыми, все называются прямолинейными, и они тоже делятся натрое.

Все эти углы, построенные на плоских поверхностях, наш геометр определяет здесь под общим именем плоских углов, относя их по роду к наклонам, а по месту к плоскости; и они образованы двумя линиями, а не тремя или больше, как телесные; и эти линии соединены вместе, причём не по одной [128] прямой, но под наклоном; и они охвачены двумя линиями, причём не только по вытянутости, но и по протяжению между ними.

Но, во-первых, кажется, что это описание не позволяет одной линии произвести угол, — однако циссоида одна образует угол, и гиппопеда тоже. Мы называем циссоидой линию в целом, а не её части (иначе можно было бы сказать, что это её части соединяются и образуют угол), и гиппопедой мы называем всю спирическую линию, а не её части. И каждая из них, будучи одной, образует угол, пересекаясь с собой, а не с другой линией. Во-вторых, кажется, что это определение ошибочно ещё и в том, что угол назван наклоном: как две линии могут образовать один наклон? И как тогда можно говорить о равных и неравных углах? Вот какие возражения обычно выставляются против этого мнения. В-третьих, условие «наклонные линии не лежат на одной прямой» не годится для углов между окружностями. Определение будет полным и без этого. Ведь наклон этих линий между собой образует угол, а круговые линии уже изначально не могут лежать на прямой. Вот что мы можем сказать об определении Евклида, отчасти пояснив его, а отчасти указав на содержащиеся в нём трудности.

9. Когда угол заключают прямые линии, он называется прямолинейным.

Мы говорим, что угол служит символом и образом соответствия в божественном рождении, а также [129] упорядочения, приводящего разделённое к единому, делимое к неделимому и множество к связному общению. Ведь он порождает связь многих линий и поверхностей, соединяет величины в неделимых точках и удерживает всякую основанную на нём фигуру. Вот и в оракулах угловые символы названы скрепами фигур, ибо они подобны связям и сочетаниям богов, соединяющим разделённое. Поверхностные углы несут на себе печать невещественного, простейшего и совершенного единства, тогда как телесные углы доходят до конечной и прерывной общности, и представляют всяческое разделение однородного устройства. Из поверхностных углов одни будут первыми и несмешанными, другие же содержат в себе бесконечное последовательное продвижение ⁶²; и одни являют разумное объединение вида, другие — ощущаемого логоса, прочие же — промежуточные узы. Углы между круговыми линиями подражают причинам, связывающим воедино умопостигаемое разнообразие: [130] ведь сами круговые линии в своём искривлении являются образами умопостигаемых видов. Прямолинейные углы представляют ощущаемое и обнаруживают соединение его логосов. А смешанные углы показывают объединение ощущаемых и умопостигаемых видов в одном неколебимом единстве.

Теперь нужно рассмотреть эти случаи и причины для каждого из них. У пифагорейцев мы найдём одни углы посвящёнными одним богам, другие — другим. Так поступил Филолай⁶³, который одним богам посвятил угол треугольника, другим — угол квадрата, или один и тот же угол — нескольким богам, а несколько углов — одному и тому же богу, сообразно различиям заключённых в них возможностей. Я думаю, что Асинский философ⁶⁴ считал демиургический треугольник первоначальной причиной элементов (στοιχείων) миропорядка, когда он поместил одних богов на его сторонах, а других — в его углах, первых — как хорегов продвижения и возможностей, вторых — как объединителей целого и собирателей розного. Всё это собрано нами ради созерцания сущего. О линиях здесь сказано, что они охватывают углы, и это не должно нас удивлять: ведь так оказываются связанными единство и разрозненность. И среди [131] богов, и в подлинно сущем полное и неделимое благо первенствует над многим и разделённым.

10–12. Когда прямая линия, установленная на прямую линию, образует равные между собой смежные углы, каждый из этих углов называется прямым углом, а прямая линия называется перпендикуляром по отношению к той, на которой она установлена. Тупой угол — это угол, больший прямого. Острый угол — это угол, меньший прямого.

Об этих трёх видах углов говорит Сократ в Государстве ⁶⁵, обсуждая принятые геометрами предположения. А именно, прямолинейные углы по своим свойствам делятся натрое: прямой, тупой, острый. Первый определяется равенством, тождеством и подобием, а оставшиеся два — бóльшим и меньшим, в целом же — неравенством, различием и неопределённостью по отношению к большему и меньшему. Большинство геометров не приводят обоснований для этого разделения, но принимают эти три угла в качестве предположения. И если мы потребуем от них указания причин, они отведут наш вопрос как неправомерный. Однако пифагорейцы, которые относили это тройное разделение к началам, не затруднялись объяснять причины и различия прямолинейных углов. Ведь в основе одного из начал находится предел, [132] и он служит причиной определённости, тождества завершённых вещей, равенства и вообще всего в столбце лучшего⁶⁶. Другое же начало возглавляет беспредельное, выпускающее продвижение в бесконечность и порождающее из себя увеличение и уменьшение, неравенство и всеобщее различие; а в целом оно возглавляет столбец скудости.

На этом естественно основаны и прямолинейные углы: ведь логос предела применим только к прямому углу, ибо он управляем равенством и подобием со всяким другим прямым углом, всегда определён и самобытен, и никогда не допускает увеличения и уменьшения; тогда как логос беспредельного, будучи вторичным и двойственным, открывает два угла по обе стороны от прямого, которым свойственно неравенство большого и малого, большего и меньшего, и которым присуще неограниченное движение, у одного — к большей и к меньшей тупости, у другого — к большей и к меньшей остроте. Поэтому они относят прямые углы (ὀρθὰς γωνίας) к божественному миропорядку и к частичным возможностям в начальных посылках, как непоколебимый промысел вторичных причин, ибо прямое (τὸ ὀρθόν) несклоняемо ко злу и неподвижно, как и подобает богам; тогда как о тупых и острых углах они говорят как о хорегах последовательности, движения и разнообразия возможностей. Тупой угол есть образ растяжения всех простых видов, тогда как острый отображает причины разделения [133] и движения целого. И в самом деле, прямоте (ἡ ὀρθότης) подобает охранять свою границу, а тупости и остроте — то, что с ними согласуется. Ведь они допускают большее и меньшее и никогда не прекращают своё неограниченное изменение. И правильно, что душе предписано нисходить в порождение по неуклонному образу прямого угла, не отклоняясь ни в ту, ни в другую сторону, не испытывая стремления ни к большему, ни к меньшему. Ведь склонность к разделению приводит к ошибкам и к неопределённости в самой материи.

Перпендикуляр (κάθετος) символизирует равновесие, безупречность, изначальную возможность, непоколебимость и тому подобное. Он же служит символом божественной и умопостигаемой меры. По перпендикуляру мы измеряем высоту фигур, и по соотнесению с прямым углом мы определяем другие углы, ибо сами они не содержат в себе определяющей сути. Они созерцаются в избытке и недостатке, и каждый из них сам по себе неопределён. Вот и говорят, что добродетель согласуется с прямотой, тогда как зло — с неопределённостью тупого и острого, и оно распадается на недостаток и избыток [134] и указывает этим на свою несоразмерность. И нам следует считать, что прямой угол среди прямолинейных углов является законченным, непоколебимым действием, умопостигаемой границей и пределом для всеобщего уподобления, а тупой и острый углы подобны неограниченному движению, неудержимому продвижению, разделению, расчленению, а в целом — неопределённости. Вот что об этом следует сказать.

В определения тупого и острого углов следует включить род. Каждый из них прямолинеен, причём один больше прямого, другой меньше. Но не всякий угол, меньший прямого угла, будет острым. Ведь всякий роговидный угол меньше как прямого, так и острого, хотя сам он не острый; и всякий полукруговой угол меньше прямого, но сам он тоже не острый. Причина здесь в том, что эти углы являются смешанными, а не прямолинейными. Точно так же многие углы, заключённые между круговыми линиями, больше прямого, но при этом они не являются тупыми. Ведь тупой угол прямолинеен.

Отметим также, что в определении прямого угла наш автор берёт прямую и устанавливает её на другую прямую так, чтобы смежные углы получались равными; а тупой и острый углы он объясняет, не говоря о том, как одна прямая приложена к другой, но просто соотнося их с прямым углом. Ведь прямой угол служит мерой непрямых, как равенство служит мерой для неравных. И линий, проведённых под наклоном к другой линии, бесконечно много, а не одна, как перпендикуляр.

Ещё он говорит, [135] что углы «равны между собой», и я хочу отметить эту геометрическую точность. Ведь допустимо, чтобы углы были равны другим углам и не были прямыми. Однако равные по сути необходимо будут прямыми. Дополнение «смежные» представляется мне отнюдь не излишним, как неправильно считают некоторые, но проясняющим описание перпендикулярности. Ведь оба угла получаются прямыми именно потому, что они являются смежными и равными между собой, ибо причины равенства обоих и перпендикулярности каждого познаются благодаря безразличию установленной прямой по отношению к той и другой стороне. Так что причиной перпендикулярности служит не только равенство углов между собой, но и их смежное положение, опосредованное равенством.

А ещё я считаю важным напомнить о том, что автор Начал говорит о составлении фигур, лежащих в одной плоскости. И его определение перпендикуляра подходит не ко всем перпендикулярам, но лишь к лежащим в той же плоскости. Здесь неуместно определять так называемый телесный перпендикуляр. Поскольку он определил плоский угол, он определяет и такой же перпендикуляр; тогда как телесный перпендикуляр образует прямые углы не только с одной прямой, но со всеми прямыми, касающимися его и лежащими в плоскости, на которую он опущен. Ведь таково его отличительное свойство.

13. Границей называется край чего-либо.

[136] Термин «граница» (ὅρος) прилагается не ко всякой величине, поскольку граница линии — это её предел (πέρας), но лишь к площадям поверхностей и объёмам тел (πρὸς τὰ χωρία τὰ ἐν ἐπιφανείαις καὶ τὰ στερεά)⁶⁷. Наш автор называет границей то, что замыкает каждую площадь (χωρίον), но это и её предел, однако не в том смысле, в каком точка — это предел линии, а в том, что граница отделяет площадь от того, что находится снаружи её. Это имя является обычным для геометрии с самого её начала, поскольку она занимается измерением площадей и размежеванием полей; откуда оно и вошло в эту науку. Так что когда он называет внешний охват границей, он естественно говорит о ней как о пределе площади. Ведь каждая из них ограничена охватывающей линией. Я утверждаю, что границей и пределом круга является его обвод, а сама его плоскость есть его площадь; и так же для других фигур.

14. Фигура есть то, что охвачено некоторой границей или границами.

Поскольку о фигуре говорится во многих смыслах, и она делится на разные виды, нам надо сперва рассмотреть эти различия, чтобы выделить тот вид, о котором сказано в определении. Фигура возникает, когда вещи [137] сталкиваются или разделяются, или когда от них что-то отсекается либо что-то к ним добавляется, или когда они меняют свою форму, или претерпевают какое-нибудь иное воздействие. Они создаются искусством, лепкой или ваянием, в согласии с исходным замыслом мастера, и искусство предоставляет вид, а материя принимает форму, красоту и тому подобное. Более важные и блистательные фигуры творит природа, и одни из них составлены из подлунных элементов по их отношениям, а другие определяются в соответствии с небесными возможностями и движениями. Ведь небесные тела сами по себе и в отношении друг к другу представляют обширное и блистательное многообразие фигур, неся в себе то одну, то другую форму, схожую с мыслимыми видами; и в своих ритмических хороводах они воспроизводят бестелесные и нематериальные фигурные возможности. За ними идут фигуры души, прекраснейшие и совершеннейшие по своей красоте, исполненные жизни, по своему самодвижению предшествующие тому, что движимо иным, а по нематериальности и непротяжённости — протяжённому и материальному. Этому учит нас Тимей, раскрывая творческую и сущностную фигуру души⁶⁸. Ещё выше, чем фигуры души, находятся умственные (νοερά) фигуры, которые во всём превосходят делимые сущности, всё освещают [138] неделимым мысленным светом, всё в целом рождают и совершенствуют, действуют в нём, будучи равными во всём и неподвижными, внося единство в фигуры души и удерживая изменения ощущаемого в его обычных границах. А выше всего этого находятся совершенные, единообразные, непознаваемые и невыразимые фигуры богов, вознёсшиеся над умственными фигурами, и они ограничивают фигуру вселенной и удерживают всё в единой границе. Эти теургические особенности запечатлены в статуях богов, имеющих разные фигуры. Одни из них выражают собой неизрекаемые характеры, показывая непознаваемую божественную мощь; другие подражают им через формы и оттиски, изображая одних богов стоящими, а других сидящими, некоторых — в виде сердца, других — в виде шара или иной фигуры; и одни из них — простые, другие — состоящие из множества форм; одни — торжественные, другие — обыденные и выражающие благосклонность богов, третьи — грозные. И эти фигуры снабжены различными символами, родственными неслыханным богам. Так фигуры начинаются с богов и нисходят к низшим [порядкам бытия], выражая их первейшие причины. Ведь совершенные фигуры предшествуют несовершенным, имеющие бытие в себе — получающим его от других; и первые восполняют [139] недостатки вторых и сохраняют чистоту своей природы.

Материальные фигуры причастны бесформенной материи и потому утрачивают подобающую чистоту; небесные фигуры делятся на части и основываются на другом; фигуры души соотносятся с разделением, приобретением многообразия и всевозможным развёртыванием; умственные фигуры вместе с единством обладают и выхождением во множественное; и возглавляют их фигуры богов — свободные, единообразные, простые, порождающие основу целого, содержащие в себе своё совершенство и передающие всему совершенство своих видов.

Мы не можем согласиться со словами многих о том, что ощущаемые фигуры производятся сложением, вычитанием и перестановкой. Ведь несовершенные движения не могут служить начальными и первичными причинами совершенных фигур. И те же самые фигуры могут приходить к завершению противоположными способами, так что одна и та же форма получается как сложением, так и вычитанием. Скорее мы можем утверждать, что их порождение идёт совсем иначе, и их завершение определяется иными производящими причинами ⁶⁹.

Неверно то, что нематериальные фигуры лишены основы, поскольку существует лишь то, что материально; неверно и то, как говорят другие, что они существуют отдельно от материи, лишь в мысли и в отвлечении. Ведь если они существуют лишь в отвлечении, как тогда сохраняются точность, [140] красота и порядок фигур? Если же они существуют как ощущаемые, они тут же расстанутся с непоколебимой и беспримесной точностью; а если они приобретают точность, упорядоченность и завершённость позднее, откуда всё это у них берётся? Из ощущаемого? — но там его нет. Из мыслимого? — но в нём они более совершенны. Сказать же, что они возникают из небытия — это самое невозможное. Как природе невозможно произвести несовершенное, а совершенное оставить несуществующим, так невозможно и представить, чтобы наша душа породила что-то более точное, совершенное и упорядоченное, нежели ум или боги. Ведь ощущаемым фигурам предшествуют самодвижущиеся, умопостигаемые и божественные логосы, и когда нас возбуждает ощущаемое, мы выдвигаем навстречу внутренние логосы, образы иначе существующего, так что мы распознаём ощущаемые вещи наглядно (παραδειγματικῶς), а умственные и божественные — образно (εἰκονικῶς). Мы открываем логосы в себе, и они показывают нам формы богов и единообразные границы целого, посредством которых всё невыразимо обращается к себе и в себе соединяется. Боги обладают сверхъестественным знанием фигур целого, порождающей способностью и основой для всего вторичного; фигуры природы обладают способностью создавать явления, хотя они лишены познания и восприятия разумного; отдельные души [141] обладают нематериальным умом и самостоятельным познанием, но не порождающей и побуждающей причиной. Так что как природа производительным образом предшествует ощущаемым фигурам, так и душа в своей познающей деятельности бросает логосы фигур в воображение, как в зеркало, оно же принимает образы и изображения, которые имелись внутри души. Так что душа отворачивается от образов и обращается к самой себе, подобно тому, кто, глядя в зеркало, удивляется силам природы и желает увидеть свою собственную форму и обладать такой способностью, чтобы быть одновременно и видящим, и видимым. Так же и душа смотрит из себя в воображении, видит подобные теням фигуры и, поражённая их красотой и порядком, восхищается собственным логосом, из которого они произошли; и восхищаясь их красотой, она ищёт саму себя. И она хочет проникнуть в себя и узреть там идеи круга и треугольника, полностью лишённые частей и всецело пребывающие друг в друге, и предстать перед видимым, и образовать множество, и созерцать вместилище богов, заповедные тайны и неизрекаемые фигуры, и обнаружить неприкрашенную красоту богов, и увидеть не имеющий частей круг [142] во всяком центре, и непротяжённый треугольник, и всякий другой предмет познания в его единстве. Ведь самодвижная фигура предшествует движимой иным; не имеющая частей предшествует самодвижущейся; и тождественная одному (ἑνί) предшествует не имеющей частей. И восхождение всех фигур завершается на однице (ἑνά­δα)⁷⁰, из которой все они и вышли.

Мы можем долго воздавать хвалу этому учению пифагорейцев. А наш геометр, созерцая фигуры в воображении и их определяя первично (хотя вторично их определение (λόγος) подходит и к ощущаемому), говорит, что фигура есть то, что охвачено некоторой границей или границами. Он берёт её сразу вместе с материей и воображает протяжённой, верно назвав её конечной и ограниченной. Всё, имеющее материю, будь то мыслимую или ощущаемую, имеет и границу; и его предел — не от него самого, но от определяющего, и граница — не от него самого (ведь оно не самоограничено), но от ограничивающего, и оно не пребывает в себе, но охвачено другим. Ведь материя по природе связана с количеством, сосуществует с ним и из него возникает, и количество — это её основа. А его логос и форма — это фигура и вид. И они её определяют, характеризуют и придают ей некую границу, простую или составную. Ведь логос фигуры разворачивается в последовательности двух видов, предела и беспредельного, [143] равно как и логос угла, и одна граница и простой вид придаются охватываемому вместе с пределом, а многие — вместе с беспредельным. Поэтому всё, обладающее фигурой, имеет одну или много границ.

Евклид считает фигурой то, что обладает формой и материей, и сосуществует с количеством, так что он естественно называет его охваченным. Однако Посидоний⁷¹ определяет фигуру как замыкающий предел, отделяя логос фигуры от количества и полагая его причиной ограниченности, определённости и охваченности. Ведь замыкание отлично от замкнутого, и предел — от определённого. И похоже, что этот автор смотрит на сам охватывающий предел, а тот — на предмет в целом, так что тот называет кругом всю плоскость и её границу, а этот — только окружность. Тот определяет имеющее фигуру, рассматривая её вместе с основой, а этот стремится выразить сам логос фигуры, ограничивающей и замыкающей количество. И если логически изощрённый муж обвинит определение (λόγος) Евклида в том, что оно определяет род через виды (ведь охваченное одной границей и многими границами суть виды фигур), мы ответим ему, что роды — это в возможности [144] всегда и виды. Так что когда древние хотели прояснить роды через наличные возможности, они пользовались видами, хотя по истине они объясняли род через себя и через свои возможности. И такое определение (λόγος) фигуры объемлет различие между многими фигурами через предел и беспредельное; и тот, кто так определяет фигуру, не поступает неуместно, различая в этом определении входящие в него возможности.

Но откуда происходит логос фигуры и какие причины он осуществляет? Первым делом я утверждаю, что он основан на пределе, беспредельном и их смешении. Поэтому одни виды он порождает через предел, другие — через беспредельное, третьи — через смешение. И окружности он порождает через предел, прямолинейные фигуры — через беспредельное, а те, что из них составлены — через смешение.

Во-вторых, он воплощает в себе целое, разделяемое на несходные с ним части, так что целое вложено в каждый из видов, а фигура делится на другие виды. Ведь и круг, и всякая прямолинейная фигура делятся на части, неподобные с их логосом, и автор Начал имеет с этим дело в своих Делениях, когда он делит фигуры то на подобные, то на неподобные.

В-третьих, он содержит возможность всеохватного множества, и тем самым представляет всевозможные формы [145] и порождает многообразные логосы фигур, и безостановочно себя разворачивает, пока не дойдёт до конца и не явит всеобщее многообразие видов. Показано, что единое сосуществует там с бытием и бытие с единым, так что и в прямолинейной фигуре присутствует окружность, и наоборот, прямолинейная фигура присутствует в окружности, так что целое пребывает во всём сразу и в каждом по отдельности. И эта способность приобретается от высшего порядка.

В-четвёртых, от первого числа взяты меры для последовательности видов, так что всё основано на числе, то на более простом, то на более сложном. Треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и все многоугольники идут друг за другом в соответствии с бесконечным изменением чисел. Большинство не знает, по какой причине это происходит; однако для тех, кто разбирается в числах и фигурах, причина вполне ясна.

В-пятых, от другой вторичной целостности, разделённой на подобные, происходит деление видов на подобные, когда треугольный логос делится на треугольники, и квадратный — на квадраты. Как я уже сказал, именно это мы делаем, когда упражняемся с изображениями, но это происходит и гораздо раньше в исходных началах.

[146] Приняв эти толкования, мы сумеем объяснить многие возможности фигур, возведя их к исходным причинам. И одна общая фигура обретает свой порядок, получая своё завершение от упомянутых причин. Она приходит к родам богов, по-разному распределяя разные идеи и по-разному действуя. Одним она придаёт более простые формы, другим — более сложные, одним — простейшие фигуры, построенные на поверхностях, другим же, состоящим из телесной массы — определённые телесные фигуры. И всё имеется во всём — ведь формы богов всесовершенны и полны всяческих возможностей; но при этом каждая имеет и свою особенность, и они предпочитают разное. Ведь одни из них содержат всё круговое, другие — всё треугольное или четырёхугольное; и для телесных фигур то же самое.

15–16. Круг есть плоская фигура, охваченная одной линией, такой что все прямые линии, падающие на неё из одной точки, лежащей внутри этой фигуры, равны друг другу. Эта точка называется центром круга.

Первейшей, простейшей и совершеннейшей из фигур является круг. Он превосходит все тела [147] по своему более простому порядку, а все плоские фигуры — по выпавшему на его долю подобию и тождеству. Он аналогичен пределу, единице, а в целом — столбцу лучшего. И если провести разделение в космическом или надкосмическом, то круг по своей природе всегда обнаружится на божественной стороне. Разделив вселенную на небо и возникновение, ты присвоишь небу круговой вид, а возникновению — прямой. Ведь круговой вид появляется в изменениях и фигурах возникновения не иначе, как спустившись сюда с небес. Из-за круговращения небес возникновение возвращается к себе по кругу, и в неупорядоченное движение вносится правильная периодичность. Разделив бестелесные сущности на душу и ум, ты скажешь, что круг относится к уму, а прямая — к душе. Ведь сказано, что душа, возвращаясь к уму, движется по кругу. И как возникновение относится к небу, так и душа — к уму. А небо движется по кругу (он говорит, что небо подражает уму, а становление — душе; ведь душа проявляется то в одном, то в другом виде). Разделив же тело и душу, ты отведёшь всё телесное на сторону прямой, а всё душевное будет причастно кругу по своему тождеству и подобию. Ведь тело является составным и обладающим разнообразными способностями, подобно прямолинейным фигурам; а душа — простой и мыслящей, самодвижной и самодеятельной, возвращающейся к себе и [148] занятой собой. Так и в Тимее, хотя элементы вселенной составлены из прямых линий, затем им придаётся круговое движение, так что образование форм движущегося космоса отведено душе⁷².

Из сказанного уже ясно, что круг первенствует над другими фигурами. Однако нам следует рассмотреть все связи, которые круг начинает со своей высоты и завершает в конце, осуществляя их все надлежащим образом и во всём принимая участие. Он обращает богов к единству со своими причинами, так что они пребывают в себе и не выходят из состояния блаженства. Он соединяет их со вторичными вещами, как центр с краями, и обставляет их множеством способностей, тем самым собирая эти вторичные вещи воедино. Мыслимым сущностям он придаёт способность действия и наполняет их мыслью, соединяя их в себе и завершая их умственное постижение. Ведь ум всегда выставляет мыслимое в центре перед собой, а затем сливается с ним в страстном любовном порыве, окружая его всеми своими действиями. Души, освещённые своей собственной жизнью и движением, обращаются к уму и обходят вокруг [149] ума, как отдельные индивиды, периодически возвращаясь домой. И опять-таки мыслимое обладает властью над душами, а деятельность душ состоит в кружении вокруг него. Ведь каждая душа благодаря своей разумности и единству сосредоточена на высшем, где она наконец-то остаётся одна, однако из-за множественности она вынуждена ходить по кругу, страстно охватывая свою мысль. Круги небесных тел служат отображением ума в его подобии и единообразии, они охватывают целое своими пределами, определяют меру обращения, вечное существование без начала и конца, и всё такое прочее. Подлунные элементы сообразуются с кругом небес по периодам изменений, как с нерождённым среди возникающего, неподвижным среди движущегося и определённым среди делимого. Ведь вещи всегда существуют в кругу возникновения; и равноправие устанавливается через воздаяние гибели. И если бы возникновение не возобновлялось, весь миропорядок вскоре бы пришёл к разрушению. Животные и растения получают от круга схожесть поколений. Ведь они рождаются из семени и сами производят семя, так что порождение становится взаимным, когда совершается обращение по кругу от незрелого к зрелому и обратно, так что рождение сопровождается гибелью. Так называемым противоестественным вещам круг придаёт порядок, а их неопределённости — [150] границу, и правильно их выстраивает по последним следам их способностей. И число, определяющее круговороты плодовитости и бесплодия, установлено по обращению кругов, как сказано в рассуждении о Музах⁷³. И все разновидности зла отходят от богов к месту смертных, но, как говорит Сократ⁷⁴, они сменяют друг друга сообразно круговым периодам и порядкам. Ведь чтобы не существовало беспримесного зла, от которого отступились бы боги, совершенное предвидение целого кладёт неограниченному многообразию зла границу и порядок. Так круг всё упорядочивает для нас, распределяя блага и никого ими не обделяя, предводительствуя красотой, подобием, образованием видов и совершенством.

И в числах он связан с серединой непрерывной прогрессии, восходящей от единицы к десятке. Ведь среди этих чисел только пятёрка и шестёрка обнаруживают силу круга, возвращаясь к самим себе в идущей за ними прогрессии, ибо при умножении они оканчиваются сами на себя⁷⁵. [151] Умножение служит образом прогрессии, вытягивающим множество, а окончание на само себя — образом остановки. Круговая способность вносит сюда и производящие причины множества, исходящие от неподвижного центра, и разворачивающие причины множества, действующие путём порождения. Два числа среди всех обладают этой особенностью: одно из них возглавляет весь возвратный род в мужской и нечётной природе, другое же собирает всё женское и чётное; и всё это связано цепью рождения с началами родства через круговые способности.

Однако нам пора закончить со всем этим и рассмотреть, как математическое объяснение круга достигает своей предельной точности. Эта фигура повсюду охвачена и ограничена одной границей, и по своей природе она относится не к беспредельному, но к столбцу предела. И она является плоской, ибо фигуры как таковые бывают поверхностными и телесными. При этом круг — это первейшая фигура среди плоских, и он не только превосходит телесные фигуры по своей простоте, но также и плоские фигуры по своему логосу, подобному единице, ибо он охвачен одной линией, относится к единому и определяется единым, без какого-либо [152] разнообразия границ.

И у этой фигуры равны все линии, проведённые из одной точки внутри неё. Ведь из фигур, ограниченных одной линией, у одних все линии, проведённые из середины, равны между собой, а у других не все. К примеру, эллипс ограничен одной линией, но не все прямые, проведённые из центра, в нём равны между собой, а только две из них; и плоская фигура, ограниченная циссоидой, имеет одну охватывающую линию, но у неё нет такого центра, чтобы все выходящие из него линии были равны между собой. Далее, поскольку центром круга всегда служит одна точка (ведь не может быть более одного центра), он добавляет, что равны между собой линии, проведённые к границе круга из одной точки. Ведь внутри круга бесконечно много точек, но из этой бесконечности только одна может быть центром. И поскольку такая точка, у которой все линии, проведённые от неё к обводу круга, равны между собой, может лежать либо внутри круга, либо вне его (ведь у каждого круга имеется такой полюс, что все проведённые из него к обводу линии равны между собой), он добавляет, что эта точка находится внутри фигуры. И он не напрасно рассматривает только центр, пренебрегая полюсом. Ведь он хочет рассмотреть всё, что лежит в плоскости, а полюс приподнят над плоскостью. И по необходимости он добавляет в самом конце, что такая точка внутри круга, у которой все проведенные из неё к окружности линии равны между собой, [153] является центром круга. Ведь имеются только две такие точки, полюс и центр, но тот находится вне плоскости, тогда как этот — внутри неё. Представим гномон⁷⁶, установленный в центре круга, и пусть его крайняя точка будет полюсом. Можно доказать, что все линии, проведённые из неё к окружности, будут равны между собой. Так вершина всей фигуры конуса служит полюсом для круга основания.

Разобравшись с тем, что такое круг, его центр, его обвод и фигура в целом, мы вернёмся к созерцанию их прообразов, и увидим, что центр — это всестороннее единство, неделимость и неподвижное превосходство, расстояния от центра — это пути от единства к бесконечному в возможности множеству, а обвод круга — это возвращение всего исходящего из центра обратно к нему же, так что множество возможностей обращается к своему единству, и все они стремятся к нему и деятельно около него толпятся. И как в круге сразу существуют центр, радиусы и внешняя окружность, так и в прообразах ничто не предшествует другому во времени и не следует за ним, но всё наличествует сразу: покой, выхождение и возвращение. Фигуры отличаются от прообразов тем, что последние неделимы и непротяжённы, тогда как эти делимы: в одном месте центр, в другом — [154] линии из центра, в третьем — внешняя окружность, ограничивающая круг; там же — всё в одном, и если ты возьмёшь центр, ты обнаружишь в нём всё, и в выходящих из него радиусах тоже содержится всё, и в возвращении тоже. И тогда ты увидишь всё во всём, так что уменьшится расхождение их положений, и вместо разделения ты обнаружишь сущий по сути круг, из себя выходящий, себя окружающий, в себе действующий, единый и многий, покоящийся, выходящий и возвращающийся, пребывающий в неделимой и единственной устойчивости, но также движущийся во все стороны по беспредельной прямой, и тотчас же свивающийся к своему единству, когда подобие и тождество гонят его к его неделимой природе и к таящемуся в ней единому. Обвивая себя, он подобен себе и окружающему его множеству. И возвращающееся подражает неподвижному, и обвод подобен расставленному центру, сходящемуся к себе, так что он стремится к центру и становится с ним одним, и что из какого начала вышло, туда оно в конце и возвращается. Таков повсюду находящийся центр, от которого всё получает своё существование и в котором всё начинается в переполненном выхождении. И математический центр, [155] в котором заканчиваются все линии, идущие от обвода, запечатлевает в них равенство, как образ собственного единства. И оракул определяет центр так: «центр, из которого все выходящие до внешнего обода равны». Ведь начало расхождения линий обозначается как «из которого», тогда как о середине обвода говорят «к которой», ибо линии отовсюду собираются к центру.

О первой причине, по которой появляется на свет и завершается фигура круга, следует сказать, что она является высочайшей вершиной в порядке мыслимого. Ведь центру подобает быть причиной предела, поскольку в выходящих из него линиях, беспредельных по количеству и величине, запечатлено беспредельное; а линия, которая окружает их неопределённое выхождение и собирает их обратно к центру, подобна скрытому миропорядку, о котором Орфей говорит как о движущемся по кругу: «Неутомимо вращалось по бесконечному кругу...»⁷⁷ Ведь если космос движется своей мыслью вокруг мыслимого центра, то естественно будет сказать, что это движение на деле является круговым. И отсюда выходит тройственный бог, который заключает в себе первейшую причину последовательности прямолинейных фигур; и отсюда же — то имя, которым его нарекли [156] мудрецы, сведущие в божественных таинствах⁷⁸. А треугольник — это первая из прямолинейных фигур. Фигуры впервые появляются на свет в божественном миропорядке, но своё существование они обретают в изначальных скрытых причинах.

17. Диаметр круга — это прямая линия, проходящая через центр и ограниченная с обеих сторон обводом круга, которая делит круг пополам.

Автор Начал поясняет, что он определяет не всякий диаметр, но диаметр круга. Ведь диаметр имеется и у квадрата, и вообще у параллелограмма, а среди телесных фигур — у сферы. Но в тех случаях говорят также о диагонали, а в случае сферы — об оси, для круга же — только о диаметре. Для эллипса, цилиндра и конуса тоже говорят об оси, а кругу присущ именно диаметр. Род для диаметра — прямая линия. Но в круге имеется много прямых линий, ибо в нём бесконечно много точек; однако из этих точек только одна — центр, так что диаметром называется лишь та [157] прямая линия, которая проходит через центр, причём она и не оканчивается раньше окружности, и не переходит за этот предел, но завершается на нём с обоих концов. Этим показано, как диаметр возникает. А заключительное добавление, что он делит круг пополам, показывает присущее ему действие в круге в сравнении с другими прямыми линиями, проведёнными через центр, но не завершающимися на окружности.

А то, что круг делится диаметром пополам, первым, как говорят, доказал сам Фалес⁷⁹. Причина же деления пополам — неуклонное прохождение прямой через центр. Ведь если она проходит через середину и всегда сохраняет своё движение, в безразличии к обеим сторонам, она во всех своих частях с обеих сторон отсекает равные части окружности⁸⁰. А чтобы доказать это математически, вообрази диаметр и одну часть круга, приложенную к другой. Если они не равны, то одна лежит снаружи или внутри другой, и в обоих случаях получится так, что меньшая прямая будет равна большей. Ведь все прямые от центра до окружности равны между собой. Но тогда получится, что наружная будет равна внутренней. А это невозможно. [158] Так что они прилажены друг к другу и, стало быть, равны. Следовательно, диаметр делит круг пополам.

Поскольку на одном диаметре возникают два полукруга, а через центр проходит бесконечное число диаметров, это ведёт к двойной бесконечности по числу. Некоторые видят здесь затруднение, связанное с бесконечным делением величин. На это мы говорим, что величины делимы до бесконечности, но не на бесконечность. Здесь говорится о получении бесконечного на деле, там же — только в возможности; и здесь — о существовании бесконечного, там же — только о его возникновении. С одним диаметром возникают два полукруга; но число диаметров не является бесконечным, хотя они и могут браться до бесконечности. Так что число полукругов не будет дважды бесконечным. Возникшие всегда будут удвоенными, однако удвоенными в конечном, ведь их всегда будет в два раза больше по числу, чем диаметров. Но почему бы всякой величине не иметь ограниченные деления, если число существует прежде величины, упреждая бесконечность и всегда полагая предел делению?

18–19. Полукруг есть фигура, охватываемая диаметром и отсекаемым им обводом. Центр полукруга тот же, что и у круга⁸¹.

Из определения круга он находит природу центра в его отличии от всех прочих [159] точек в круге; а по центру он определяет диаметр и отделяет его от всех прочих прямых, проведённых в круге. А по диаметру он учит нас, чем является полукруг: ведь он охватывается двумя границами, каковые всегда отличны друг от друга, будучи прямой и обводом, причём прямая будет не случайной, но диаметром круга. Ведь сегмент, меньший или больший полукруга, также охватывается прямой и окружностью. Но это не полукруги, ибо деление круга не проведено через центр.

Все такие фигуры двувидны, тогда как круг является единообразным, и они составлены из неподобных. Ведь всякая фигура, охваченная двумя границами, охвачена или двумя окружностями, как луночка, или прямой и окружностью, как названная фигура, или двумя смешанными линиями, как при пересечении двух эллипсов (ведь между собой они охватывают фигуру), или смешанной линией и окружностью, как при пересечении эллипса с кругом, или смешанной линией и прямой, как в случае половины эллипса. Полукруг состоит из неподобных частей, однако все они просты и приложены друг к другу.

Прежде чем определять триадические фигуры, естественно рассмотреть двувидные, следующие за кругом. [160] Две прямые линии не могут охватывать площади, а прямая и окружность могут; и две окружности тоже могут, образуя или углы, как в фигуре из вида луночек, или же фигуру без углов, как это делают две концентрические окружности. Отсечённая ими площадь заключена между двумя окружностями, одна снаружи, а другая внутри; и они не образуют угла, поскольку не пересекают друг друга, как это происходит в луночке или двояковыпуклой фигуре.

Далее, ясно, что центр полукруга тот же, что и у круга. Ведь диаметр с находящимся на нём центром задаёт полукруг, и все прямые, проведённые из центра к обводу, равны между собой. Но окружность — тоже часть круга. И прямые, проведённые ко всем частям окружности, равны между собой, когда они проведены из центра. Так что у полукруга и круга один центр. И полукруг — единственная фигура имеющая центр на своём периметре; я говорю здесь о плоских фигурах. Подводя итоги, можно сказать, что для центра имеются три положения: или внутри фигуры, как у круга, или на периметре, как у полукруга, или снаружи, как у некоторых конических линий⁸².

Так что полукруг имеет тот же центр, что и круг. [161] Что это показывает и даёт для подобных случаев? Не то ли, что вещи, не вполне отошедшие от первых, но всё ещё им причастные, будут концентричны с ними и обусловлены теми же самыми причинами? Ведь полукруг имеет двоякую общность с кругом, по диаметру и по обводу. А потому и центр у них общий. И равно схожи с полукругом другие вторичные по порядку вещи — через причастность простейшим началам и общее происхождение; и даже будучи несовершенными и половинчатыми, они всё же восходят к бытию и к своим первым причинам.

20–23. Прямолинейные фигуры суть те, которые охватываются прямыми: трёхсторонние — тремя, четырёхсторонние — четырьмя, многосторонние — более, чем четырьмя.

После единообразной фигуры, которая находится ко всем прочим фигурам в отношении начала, и двувидного полукруга, рассматривается последовательность прямолинейных фигур, уходящая по числу в бесконечность. Этим объясняется и упоминание полукруга, потому что по своим границам он имеет общность и с кругом, и с прямолинейными фигурами, подобно тому как двойка находится посредине между единицей и числом. Ведь единица производит большее количество сложением, а не умножением, а число, напротив, [162] умножением, а не сложением; а двойка даёт равное и умножением на себя, и сложением с собой. И как она служит серединой между единицей и множеством, так и полукруг имеет общность и с прямолинейными фигурами по своему основанию, и с кругом по своему обводу.

Прямолинейные фигуры следуют по порядку чисел, от тройки и до бесконечности. Поэтому автор Начал начинает именно отсюда. Он говорит о трёхсторонних фигурах, о четырёхсторонних, и далее о тех, которые имеют общее имя многосторонних. Трёхсторонние фигуры также являются многосторонними, но они имеют и собственное обозначение, отличное от общего, тогда как для других, поскольку мы не в силах проследить за бесконечной последовательностью чисел, употребляется общее обозначение. Он упоминает только трёхсторонние и четырёхсторонние фигуры, поскольку три и четыре — это самые первые числа, одно — несмешанное нечётное среди нечётных, другое — самое чётное среди чётных. Этим он стремится показать, что упорядоченное порождение прямолинейных фигур зависит от всех чисел, как от чётных, так и от нечётных. Более того, поскольку в первой книге Начал он учит о треугольниках и параллелограммах как о самых элементарных фигурах, он естественно ведёт перечисление до этих чисел, а все прочие обозначает общим именем. Вот и всё об этом.

Теперь мы вновь отметим, [163] что из плоских фигур одни охвачены простыми линиями, другие смешанными, третьи — и теми, и другими. Из тех, что охвачены простыми линиями, у одних это линии одного вида, как у прямолинейных фигур, у других — не одного вида, как у полукругов, сегментов и арок, которые меньше полукруга. Из тех, что охвачены линиями одного вида, у одних это круговые линии, у других прямые; и из тех, что охвачены круговыми линиями, у одних имеется одна линия, у других две, у третьих много. Сам круг охвачен одной линией; из тех, что охвачены двумя, одни не имеют углов, и таково кольцо, ограниченное двумя концентрическими кругами, а у других есть углы, и такова лунка; а число тех фигур, что охвачены более чем двумя линиями, бесконечно. Ведь одни фигуры охвачены тремя линиями, другие четырьмя, и так далее по порядку. К примеру, если три круга касаются друг друга, они высекают трёхстороннюю площадь, охваченную тремя обводами; а если их четыре — то четырёхстороннюю, и так далее. Из фигур, охваченных прямыми линиями, у одних их три, у других больше. Ведь две прямые не охватывают площади, и тем более одна. Так что у всякой площади, охваченной одной или двумя границами, эти границы или смешанные, или круговые. И те, у которых границы смешанные, тоже делятся надвое, [164] и одни их них охвачены смешанными линиями одного вида, наподобие так называемой циссоиды, другие же — линиями не одного вида, и такова арка. А смешение тоже бывает двояким, через приложение и через слияние. Далее, не всякая трёхсторонняя или четырёхсторонняя фигура является прямолинейной, ведь такое число сторон может быть и в фигурах, порождённых обводами. Вот что говорится о разделении плоских фигур.

Ранее сказано, что прямая служит символом последовательности, движения и бесконечности, и что такой порядок порождения управляется богами, и служит причиной различия, изменения и движения. А потому прямолинейные фигуры обитают в жилище тех богов, которые начальствуют над порождением и происхождением видов. Поэтому по ним упорядочено космическое порождение, и по ним получают свой удел движущиеся и изменяющиеся сущности.

24–29. Из трёхсторонних фигур равносторонний треугольник имеет три равные стороны, равнобедренный — только две равные стороны, разносторонний (σκα­λη­νός) — три неравные стороны. Далее, из трёхсторонних фигур прямоугольный треугольник — имеющий прямой угол, тупоугольный — имеющий тупой угол, остроугольный — имеющий три острых угла.

Разделение треугольников одним своим началом имеет их углы, другим — их стороны. [165] Сначала идёт известное разделение по сторонам, потом — особое разделение по углам. Ведь три угла — прямой, тупой и острый — присущи только прямолинейным фигурам; а равенство и неравенство сторон очевидно имеется и в непрямолинейных фигурах. Он говорит, что одни треугольники бывают равносторонними, другие — равнобедренными, третьи — разносторонними; ведь в треугольнике либо все стороны равны, либо все неравны, либо только две равны. И снова, что одни треугольники бывают прямоугольными, другие — тупоугольными, третьи — остроугольными. Прямоугольный определяется как тот, у которого один из углов — прямой, и аналогично — тупоугольный (ведь в треугольнике не может быть больше одного прямого либо тупого угла); а остроугольный — как тот, у которого все углы острые. В этом случае недостаточно сказать, что у него один из углов острый, а иначе все треугольники оказались бы остроугольными. Ведь у всех треугольников имеется по два острых угла, а три острых — только у остроугольного.

Но мне кажется, что автор Начал приводит отдельное разделение по углам и отдельное по сторонам, потому что не всякий треугольник является трёхсторонним. Ведь имеются треугольные четырёхсторонники, которые одни называют крючковидными, а Зенодор⁸³ — пустоугольными (κοιλογώνια)⁸⁴. Представьте трёхстороннюю фигуру, у которой к одной из её сторон приставлены [166] две прямые, идущие вовнутрь. Имеется площадь, охваченная двумя внешними сторонами и двумя внутренними, и один её угол охватывается внешними сторонами, а два других ограничены внешней и внутренней сторонами, и они находятся там, где эти стороны попарно сходятся. Ведь такой треугольник будет при этом четырёхсторонней фигурой. Так что ниоткуда не следует, что если мы найдём фигуру с тремя острыми углами, или с одним прямым, или с одним тупым, то при этом мы обнаружим треугольник, будь то равносторонний или какой-нибудь другой. Ведь она может быть и четырёхсторонней. Точно так же можно найти четырёхугольник, у которого больше четырёх сторон. Получается, что по количеству углов мы ещё не можем судить о числе сторон. Но об этом достаточно.

Пифагорейцы говорили, что треугольник служит простым началом рождения и порождения видов. И в Тимее сказано, что треугольники являются основой природных логосов и элементами творения⁸⁵. Они разделяются натрое, и сводят вместе всё делимое и переменчивое, и заполняют бесконечность материи, и устанавливают неразрывные связи материальных тел. Ведь треугольники охватываются прямыми и имеют углы, которые сводят вместе множество линий, обеспечивая их соединение и общность. [167] Поэтому Филолай заслуженно посвятил угол треугольника четырём богам: Кроносу, Аиду, Аресу и Дионису, охватив ими весь четырёхчастный миропорядок элементов, нисходящий с неба, или же от четырёх частей зодиака. Действительно, Кронос служит основой для всякой влажной и холодной сущности, Арес — для всякой огненной природы, Аид объемлет всю подземную жизнь, а Дионис ведает влажным и тёплым становлением, символ которого — вино, влажное и тёплое. Все они различаются по вторичным произведениям, но объединены между собой. Поэтому Филолай заключает об их единстве по единому и общему для всех углу. Если различие между треугольниками содействует порождению, естественно признать, что треугольник является началом для всего в подлунном мире. Прямой угол задаёт саму сущность и охватывает меру, так что логос прямоугольного треугольника производит сущности в порождении элементов; тупой угол задаёт расхождение вообще, так что тупоугольный логос порождает рост величины и всяческое растягивание материальных видов; острый угол связан с делением природы, и остроугольный логос приуготовляет процесс деления до бесконечности. Треугольный же логос как таковой [168] разделяет сущности и устанавливает все части материальных тел. Всё это мы можем созерцать в треугольниках, и из этих разделений ясно, что всего имеется семь видов треугольников, не больше и не меньше. Равносторонний треугольник только один, и он остроугольный, а оставшиеся делятся натрое. Равнобедренный бывает прямоугольным, тупоугольным и остроугольным, и разносторонний имеет эти же три деления. Если эти делятся натрое, а равносторонний — единственен, то можно сказать, что всего имеется семь видов треугольников.

В разделении треугольников по сторонам ты ухватишь также аналогию с сущими. Равносторонний, во всём равный и простой, родственен божественным душам; ведь как мерой для неравного является равное, так и божественное — для всего вторичного. Равнобедренный родственен лучшим родам материальной природы, которые по большей части управляются мерой, тогда как оставшиеся причастны неравенству, безмерности и материи; ведь у него две стороны равные, а основание неравное. А разносторонний родственен отдельным живым существам, которые, приведённые в свой род и переполненные материей, во всем словно хромают и ковыляют.

[169] 30–34. Из четырёхсторонних фигур квадрат (τετράγωνον) — равносторонний и прямоугольный, прямоугольник (ἑτερόμηκες) — прямоугольный, но не равносторонний, ромб — равносторонний, но не прямоугольный, и ромбоид — имеющий равные противоположные стороны и углы, но не равносторонний и не прямоугольный; прочие четырёхсторонники называются трапециями.

Четырёхсторонники сперва разделяются надвое, и одни называются параллелограммами, а другие — непараллелограммами. Параллелограммы, в свою очередь, разделяются на прямоугольные и равносторонние, то есть квадраты; на те, у которых нет обоих этих свойств, то есть ромбоиды; на прямоугольные, но не равносторонние, то есть прямоугольники; и на равносторонние, но не прямоугольные, то есть ромбы. Ведь параллелограммы по необходимости имеют либо и равные стороны, и прямые углы, либо ни того, ни другого, либо одно из двух, причём двумя способами, так что параллелограммы бывают четырёх видов. [170] Из непараллелограммов у одних только две стороны параллельны, а две другие нет, а у других параллельных сторон нет совсем. Первые называются трапециями, вторые — трапецоидами. Из трапеций у одних связки между параллельными равны между собой, у других не равны. Первые называются равнобокими, вторые — неравнобокими (σκαληνά). Так что имеется семь видов четырёхсторонников: квадрат, прямоугольник, ромб, ромбоид, равнобокая трапеция, неравнобокая трапеция, трапецоид.

Посидоний производит полное деление прямолинейных четырёхсторонников на эти семь видов, и для треугольников он делает то же самое. [171] Евклид же не может произвести разделение на параллелограммы и непараллелограммы, потому что он ещё не говорил о параллельных, так что он не может учить нас и тому, что такое параллелограмм. Все трапеции и трапецоиды он объединяет под общем именем трапеций, отделяя их от четырёх прочих видов, тем самым подтверждая, что это — параллелограммы в собственном смысле, у которых равны противоположные стороны и углы. Ведь и у квадрата, и у прямоугольника, и у ромба равны противоположные стороны и углы, но он говорит это только о ромбоидах, ведь иначе они определялись бы чисто отрицательно, как неравносторонние и непрямоугольные. Ведь когда все специфические описания утрачены, по необходимости остаются только общие; так что он называет здесь только общие для всех параллелограммов свойства. Ромб схож с расшатанным квадратом, а ромбоид со сдвинутым прямоугольником, — ведь они не имеют отличий в том, что касается сторон, но лишь в том, что у этих тупые и острые углы, у тех же — прямые. Если представить, как квадрат или прямоугольник растянуты за противоположные углы, то обнаружится, что эти углы сходятся и становятся острыми, а другие — расходятся и становятся тупыми. Отсюда видно, что ромб (ῥόμβος)⁸⁶ и имя своё [172] получил из-за движения. Ведь если представить себе вращающийся квадрат, ты увидишь, что его углы покоробятся, так же как круг при таком же вращении становится эллипсом.

О самом квадрате (τετράγωνον)⁸⁷ спрашивают, почему он получил такое название. Ведь треугольник — это общее название, в том числе и для тех, у которых нет ни равных углов, ни равных сторон; и пятиугольник тоже. Почему же четырёхугольником не называют другие четырёхсторонние фигуры? И в самом деле, наш геометр, говоря об этих фигурах, употребляет такие выражения, как «равносторонний треугольник» или «равносторонний и равноугольный пятиугольник», что показывает, что они могли бы и не быть такими. Однако четырёхугольником называют исключительно равностороннюю и прямоугольную фигуру. Довод же для этого следующий: только квадрат имеет наилучшее устройство и в отношении сторон, и в отношении углов. Ведь [все его стороны равны между собой], и каждый его угол является прямым и служит мерой для прочих углов, не будучи ни слишком растянутым, ни слишком сжатым. И поскольку он являет превосходство в обоих отношениях, естественно дать ему общее наименование. А в треугольнике, даже если все его углы равны, все они будут острыми, точно так же как в пятиугольнике — тупыми. Поэтому естественно четырёхугольник с равными сторонами и прямыми углами, как самый полноценный из всех четырёхсторонников, называть этим общим именем. [173] Ведь для выдающихся видов мы часто используем общее имя целого.

Пифагорейцы считали, что квадрат, более чем какая-либо другая четырёхсторонняя фигура, несёт в себе божественную сущность. Он знаменует собой в высшей степени незапятнанный порядок — ведь прямизна углов подражает неуклонности, а равенство сторон — стойкости. Ведь движение есть порождение неравенства, а покой — равенства; и причина устойчивости целого и незапятнанной и непоколебимой мощи выражается в квадратной фигуре, как в некоем образе. Кроме них, Филолай с другой точки зрения называет угол квадрата углом Реи, Деметры и Гестии. Ведь поскольку квадрат есть основа земли и ближайший к ней элемент, чему нас научает Тимей, и поскольку земля получает от всех этих богинь способность истечения и плодородия, он естественно посвящает угол квадрата этим освобождающим и жизнетворным богиням. Ведь некоторые называют землю Гестией или Деметрой, и они говорят, что она во всём причастна Рее, поскольку в ней заключены все подземные порождающие причины. Вот он и говорит, что единственным соединением этих божественных родов является угол, охватывающий квадрат. Квадрат также уподобляют всеобщей добродетели, как имеющий четыре прямых угла, каждый из которых совершенен в том же смысле, в котором мы говорим о совершенстве каждой добродетели, [174] о независимости, мере и границе жизни, ибо все они являются средними между тупыми и острыми углами. Не следует упускать из виду, что угол треугольника Филолай посвятил четырём богам, а угол квадрата — трём. Этим он указал на их взаимопроникновение и на то, что всё сообщается со всем: и нечётное с чётным, и чётное с нечётным. Четверичная тройка и троичная четвёрка, причастные к производительным и творческим благам, содержат целиком весь миропорядок рождённых вещей. Образованная ими двенадцатерица простирает первенство Зевса до единственной единицы. Ведь угол двенадцатиугольника, по словам Филолая, принадлежит Зевсу, поскольку Зевс в одном единстве содержит целиком всё число двенадцатерицы. И у Платона Зевс предводительствует двенадцатерицей и управляет абсолютно всем⁸⁸.

Вот что мы хотели сказать о четырёхсторонних фигурах, чтобы прояснить размышления автора Начал и обозначить начальный рубеж теоретического броска для тех, кто ищет знания умопостигаемых и невидимых сущностей.

[175] 35. Параллельные суть такие прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи неограниченно продолжены в обе стороны, не встречаются ни с той, ни с другой стороны.

Некоторые элементарные факты (στοιχεῖα), относящиеся к параллельным и их признакам, мы изучим ниже; здесь же определяется, что такое параллельные прямые. Наш автор говорит, что они должны лежать в одной плоскости и не встречаться при неограниченном продолжении с каждой стороны. Непараллельные линии тоже могут не встречаться при некотором продолжении, но особенность параллельных состоит в том, что они не встречаются при неограниченном продолжении; и не просто, но ещё и при неограниченном продолжении в обе стороны. Непараллельные линии тоже могут не встречаться при неограниченном продолжении, но лишь с одной стороны, а не с обеих — ведь сближаясь с одной стороны, с другой стороны они расходятся. Причина этого в том, что две прямые не могут охватывать площадь. А если бы они сходились с обеих сторон, то охватывали бы. Далее, справедливо добавляется, что прямые должны лежать в одной плоскости. Ведь если одна из них лежит в плоскости, а другая целиком над ней, они не будут встречаться, но не будут и параллельными. [176] Так что плоскость должна быть одна, и при неограниченном продолжении они не должны встречаться ни с одной стороны. Если эти условия выполнены, прямые будут параллельными.

Так Евклид определяет параллельные прямые. А Посидоний говорит, что они не сходятся и не расходятся в одной плоскости, но у них все перпендикуляры, опущенные из точек одной прямой на другую, равны между собой. ⁸⁹ Если перпендикуляры всегда становятся короче, прямые встречаются: ведь перпендикуляр определяет и высоту площади, и расстояние между линиями. И когда перпендикуляры равны, будут равными и расстояния между прямыми; но если они становятся больше или меньше, то с той стороны, где перпендикуляры становятся меньше, расстояние уменьшается и прямые встречаются.

Однако нам следует понимать, что отсутствие встречи не всегда делает линии параллельными — ведь обводы концентрических кругов не встречаются, хотя их линии продолжаются неограниченно. Это свойство имеется не только у прямых, но и у других линий. Можно представить спираль, обёрнутую около прямой, и при неограниченном продолжении прямой они не встретятся. Гемин правильно различает эти случаи в самом начале. Он говорит, что одни линии ограничены [177] и охватывают фигуру, и таковы круг, линия эллипса, циссоида и многие другие; другие же неограничены и могут быть неограниченно продолжены, и таковы прямая, сечения прямоугольного и тупоугольного конуса и конхоида. И опять, при неограниченном продолжении один из них не замыкают фигуру, и таковы прямая и упомянутые конические сечения, другие же свиваются и производят фигуру, будучи после неограниченно продолжаемыми. Первые не встречаются, так что при продолжении не сталкиваются, вторые встречаются, так что сталкиваются при продолжении. Из невстречающихся линий одни лежат в одной плоскости, другие нет. Из невстречающихся линий, лежащих в одной плоскости, одни всегда имеют равные расстояния между собой, у других расстояние всегда уменьшается, как у гиперболы с прямой и у конхоиды с прямой. Но хотя расстояние между ними всегда уменьшается, они не встречаются, и хотя они сходятся друг с другом, однако никогда не сходятся полностью. Это одна из самых парадоксальных теорем в геометрии, согласно которой линии сходятся, но не встречаются. Из линий, между которыми всегда равные расстояния, таковы параллельные прямые: ведь они лежат в одной плоскости, и расстояние между ними никогда не уменьшается. Всё это я извлёк из Добротолюбия Гемина, чтобы осветить то, о чём шла речь.

Перевод и примечания А.И. Щетникова

---