Развернуть | Свернуть

Translate page

Google составляет рейтинг сайтов на основе поведения пользователей на них. Понижает рейтинг: Зайти и тут же выйти, никуда не кликнув. Повышает рейтинг: Зайти, пару раз кликнуть по ссылкам сайта и выйти через ссылку рекламодателя.

Ошибка? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Капризная Индивидуальность Понятия

С. Курганов

1. Проблема понятия в контексте философии образования.

В ХХ веке выдающийся психолог и философ образования В. В. Давыдов осуществил решительное сближение философии и педагогики. В. В. Давыдов показал, что в основе школьного образования, каким мозаичным оно ни казалось, лежит вполне определенная философия, а именно – философия эмпирического обобщения [Давыдов, 1972]. В. В. Давыдов полагал, что трудности традиционной школы, безнадежно отставшей от духа времени, связаны не с частными методическими недоработками. Кризис образования своей причиной имел бедность и во многом бессмысленность той философии, на основе которой оно было построено. Взамен устаревшей философии эмпирического обобщения В. В. Давыдов предложил использовать в образовании иную философию, которую В. В. Давыдов до конца своих дней считал единственно верной. В качестве такой философии выдвигалась диалектическая логика, разработанная великими философами ХIХ века Гегелем и Марксом и конкретизированная замечательным отечественным философом ХХ века Э. В. Ильенковым [Ильенков, 1960, 1984].Так произошло то, что философ образования И. М. Соломадин впоследствии назвал «первым культурным взрывом» в отечественной педагогике.

«Первый культурный взрыв» в педагогике, рождение Развивающего обучения [Давыдов, 1972, 1986], построение новой модели образования на основе новой образовательной философии совпал с не менее мощным сдвигом в самой философии. Марксизм-ленинизм переставал восприниматься как единственно верная концепция мира и человека. Обнаружилось множество философий: Платона, Гегеля, Маркса, Хайдеггера, Бахтина, Библера, Мамардашвили...

Возникла парадоксальная ситуация в области философии образования. В. В. Давыдов обнаружил, что в основе педагогики всегда лежит та или иная философия. Но конец ХХ века – это признание множественности философских миров. Какая же философия должна быть выбрана для построения современной школы? Это должна быть одна философия или несколько? Если несколько, то как они между собой соотносятся? Если одна, то на какой из существующих философских систем остановиться? Эту сложную ситуацию, возникшую в философии образования на грани ХХ и ХХI веков, И. М. Соломадин назвал «вторым культурным взрывом» в педагогике.

2. Философия знания как содержание образования.

Содержанием традиционного образования являлись пресловутые ЗУНы - знания, умения, навыки. Идеологической сердцевиной этого содержания являлось эмпирическое понятие. Как показал В. В. Давыдов [Давыдов, 1972], важнейшим признаком такого содержания образования является отрыв понятий от их происхождения. Иначе говоря, знание передавалось в готовом виде. Перед детьми не возникали вопросы типа: в каких ситуациях необходимо знание, какова историческая природа знания, каковы границы применимости знания. Возникновение, жизнь и, возможно, старение и смерть данного типа знаний школой не рассматривалось. Поэтому, описывая содержание традиционного образования, часто говорят о мертвом знании. С таким же успехом можно было бы говорить о «вечно живом» знании, т. е. о таком знании, которое не знает рождения и гибели (фальсификации).

В. В. Давыдов предположил, что содержанием образования может стать не само по себе знание (эмпирическое или даже теоретическое), а знание вместе с условиями его происхождения, т. е. по существу философия знания. Предлагалось так развернуть «знаниевые» учебные предметы (математику и родной язык), чтобы дети в школе в своеобразных формах «квазиисследования» воспроизводили условия происхождения теоретического знания.

Иногда революцию в образовании, совершенную В. В. Давыдовым в 60-х годах, понимают так: В. В. Давыдов предложил изменить материал обучения в школе. Вместо эмпирических обобщений – теоретические понятия. Вместо счета – измерение величин. Вместо чисел – алгебраические выражения. Вместо букв – звуки и фонемы. Вместо орфографических правил – основной закон русского письма. Однако изменение материала образования, т. е. тех «вещей» и знаковых конструктов, с которыми имеет дело ребенок, еще не есть изменение содержания образования. В. В. Давыдов «целил» не в фонемы и величины, а в существо тех способностей, которые складываются у ребенка при усвоении теоретических знаний. В. В. Давыдов предположил, что основу этих способностей составляет такое психическое новообразование, как рефлексия: умение дать себе отчет о происхождении моего знания, об условиях и границах его применимости. Дети не только осваивают теоретическое понятие числа, но и научаются понимать, что есть теоретическое знание, рассуждают о том, как оно возникает из не-знания. Дети становятся «маленькими философами». Одна из работ В. В. Давыдова так и называется «Seven-year-old thinkers? Why not?» [Davydow, 1964].

Но проникают ли дети в Развивающем обучении в самую суть философии знания? В какой мере в Развивающем обучении удается осуществить идеал В. В. Давыдова «seven-years-old thinkers»?

Во-первых, заметим, что в Развивающем обучении дети проникают не просто в «философию знания», а в философию специфически организованного знания. Это знание, выстроенное по принципу восхождения от абстрактного к конкретному, предложенному

Гегелем и переосмысленному Э. В. Ильенковым [Ильенков, 1960]. Но в какой мере современное знание теоретично (в смысле В. В. Давыдова)? В какой мере теория, построенная как развертывание одного, исходного понятия - «клеточки» есть современная теория? В какой мере современный теоретик мыслит «от абстрактного к конкретному»? В какой степени изложение современных теорий (в физике, математике, биологии, лингвистике) выстраивается как движение от абстрактного к конкретному? Может быть, в этой педагогике (а концепция В. В. Давыдова – это одна из многих педагогик ХХ века) мы имеем дело с проникновением в философию знания Нового времени, в философию «познающего Разума» [Библер, 1975, 1991]?

Во-вторых, возникает вопрос, в свое время поставленный Л. И. Божович: в каких «точках» взросления современного ребенка ему действительно необходимо освоить теоретическое знание, присвоить способности познающего Разума. Л. И. Божович спрашивала В. В. Давыдова и Д. Б. Эльконина: почему именно младший школьный возраст (а не, скажем, возраст перехода от начальной школы к подростковой) выбран в качестве «полигона» для формирования теоретического мышления? [Божович, 1968] Какие задачи младшего школьного возраста помогает решить познающий Разум? Действительно ли каждый первоклассник хочет быть и может стать « seven -years-old-thinker»? Д. Б. Эльконин и В. В. Давыдов предполагали, что нормы возрастного развития производны от содержания образования. Но это содержание обретается в совместных поисках учителя и детского сообщества. В 60-е годы теоретическое мышление было обретено как содержание образования в этих совместных поисках (в формирующем эксперименте). В наше время есть опасность перехода от нормирования возраста, обретаемого в ходе поисков детей, учителя и ученых к жесткому заданию возрастных этапов извне по принципу «Как известно, в младшем школьном возрасте содержанием образования является теоретическое мышление». Кому известно? Ведь время изменилось. Изменились дети, учителя и ученые. Изменилось само мышление. И обоснованность удачной встречи современного младшего школьника с познающим Разумом уже не кажется столь очевидной, как в 60-е годы.

3. Возможно ли теоретическое понятие натурального числа?

В поисках возможного ответа на вопросы, поставленные выше, обратимся к известной реконструкции происхождения теоретического понятия числа, произведенного В. В. Давыдовым в 60-е годы [Давыдов, 1962]. Эта реконструкция легла в основу программы Развивающего обучения математике [Давыдов, 1986].

С точки зрения В. В. Давыдова, исходной ситуацией, порождающей теоретическое понятие числа, является ситуация воспроизведения величины, равной данной, в другом месте, в другое время и другим субъектом. Совместно-распределенная деятельность воспроизведения величин строится следующим образом. У измерителя имеется величина A и мерка e – эталон данной величины. У отмеривателя имеется такая же мерка e и материал, позволяющий воспроизводить любые величины. Задача состоит в том, чтобы научиться такому общему способу работы с величинами, который позволяет любому отмеривателю, расположенному

в любом месте (в Париже или на Луне), в любое время (через час или через столетие) абсолютно точно воспроизвести ту величину, которая имеется у измерителя. При этом предполагается, что стандартная мера – эталон e уже имеется у всех измерителей и всех отмеривателей и поэтому переносить сам материал (величину A) запрещается.

Общий способ решения задачи состоит в следующем. Измеритель, как бы предвосхищая действия отмеривателя, создает динамическую модель отмеривания. Измеритель рассуждает так. Допустим, я отмериватель. У меня есть мерка e и материал, мне нужно получить от измерителя «письмо», в котором мне будет рассказано, какие действия нужно произвести с меркой e , чтобы получить величину А. Совокупность (последовательность) действий, позволяющих отмеривателю с помощью стандартной меры e получить величину, равную данной, и есть число как теоретическое понятие. И это именно всеобщее содержательно-теоретическое понимание числа, его «клеточка». Любое число (натуральное, многоразрядное, дробное, положительное и отрицательное, иррациональное, комплексное) должно возникать на основе конкретизации этой «клеточки».

Проследим, однако, может ли вырасти из этой «клеточки» понятие натурального числа.

Измеритель, как бы имитируя будущие действия отмеривателя, строит величину A повторением стандартной меры e. Эта процедура называется измерением. Смысл измерения состоит в том, чтобы еще раз породить величину A , но с помощью повторения меры e. Каждое откладывание меры фиксируется специальным знаком – меткой (кубиком или фишкой). Метка – это единица, один. Если метка одна, то это значит, что величина равна мере. Совокупность меток-единиц есть натуральное число. Можно сказать, что натуральное число показывает, сколько мерок находится в данной величине. Говорят поэтому, что натуральное число есть отношение величины к мере. Споря с П. Я. Гальпериным и Л. С. Георгиевым [Гальперин и Георгиев, 1961], В. В. Давыдов специально подчеркивает, что единица – это не часть величины, уравненной с мерой, не «кусок» объекта, не вещь среди вещей. Единица – это идеальное (в смысле Э. В. Ильенкова), т. е. способ развертывания деятельности (отмеривания), представленный как особая вещь – символ (метка). Вне целостного акта деятельности воспроизведения величин метка – единица никакого смысла не имеет. Поэтому единицу нельзя понимать как отдельный объект, а число – как совокупность отдельных объектов, «отдельностей».

Измерив величину, измеритель составляет «письмо для отмеривателя», в котором указывает название величины A , название меры e и количество меток. Такое письмо и есть натуральное число: A / e = ооо. Имея меру e и идеальный объект – натуральное число, отмериватель воспроизводит величину, равную данной. Можно сказать, что с помощью числа осуществляется акт коммуникации измерителя и отмеривателя.

На следующем шаге можно задаться вопросом: а возможно ли решить исходную задачу в том случае, когда величина намного больше меры? Иными словами, можно ли научиться строить и задавать (с помощью натуральных чисел) такие преобразования меры (например, укрупнение), которые позволят точно воспроизводить любые величины? Можно ли с помощью комплекса натуральных чисел и каких-либо новых знаков научиться абсолютно точно воспроизводить очень большие и очень маленькие величины? Можно ли так воспроизводить направленные величины? А величины, несоизмеримые со стандартной мерой? А переменные величины? А направленные величины, расположенные на плоскости? Очень многие (ранее понимаемые как разрозненные) математические объекты (арифметические, геометрические, алгебраические, топологические) могут быть «втянуты» в воронку теоретического понятия числа и вновь порождаться как необходимые грани развивающегося от абстрактного к конкретному единого понятия. Построение (с первого по одиннадцатый класс) курса математики как единого развивающегося понятия было мечтой В. В. Давыдова [Давыдов, 1972]. В какой мере современные учебники Развивающего обучения математике реализуют логический идеал В. В. Давыдова – это вопрос, требующий особого обсуждения.

Многолетние (с 1972 г.) наблюдения уроков Развивающего обучения в начальной и подростковой школе, участие в построении программы Развивающего обучения математике убеждают, что детям интересно играть в измерителей – почтальонов – отмеривателей, задумываясь над проблемами порождения разных граней единого понятия действительного (и комплексного) числа [Боданский, Курганов, Фещенко, 1977]. Работа с теоретическим понятием числа позволяет выстроить содержательные учебные дискуссии младших школьников и подростков, в ходе которых формируется умение самостоятельно ставить учебные задачи, понимать партнеров, совместно разрешать противоречия измерения – отмеривания. Психологические особенности таких дискуссий глубоко исследованы (правда, на лингвистическим материале) Г. А. Цукерман [Цукерман, 1993].

Однако всмотримся внимательно в процесс формирования теоретического понятия натурального числа, который реконструировал В. В. Давыдов. Каким образом решение задачи измерения – отмеривания величин порождает понятие натурального числа? Когда ребенок – первоклассник, втягиваясь в ситуацию коллективной игры в измерение – пересылку – отмеривание, научается воспроизводить величины с помощью меток, он действительно овладевает понятием числа. Число начинает пониматься как способ решения новой и интересной задачи. Но порождается ли в этой деятельности теоретическое понятие натурального числа, с которым дети будут работать в течение трех лет начального обучения? И – вообще, можно ли овладеть понятием натурального числа в ходе осуществления предметной деятельности измерения – отмеривания?

Думается, нет. Ни деятельность измерения – отмеривания величин, ни учебная дискуссия, в которой обсуждаются вопросы успешности осуществления измерения-отмеривания (т. е. особенности понятия как общего способа действия) не приводят к порождению теоретического понятия натурального числа. Для того чтобы успешно измерить величину мерой, нужно заранее владеть представлением о натуральном числе как о некотором повторяющемся ритме, как о чередовании метки и пустоты, единицы и нуля, удара и тишины. Чтобы измерять, нужно заранее уметь действовать с метками, т.е. с одинаковыми отельными вещами – единицами. Опыт работы с единицами-метками, обозначающими ритм счета, формируется в дошкольном возрасте. Именно этот опыт лежит в основе того понимания натурального числа, которое позволяет первокласснику успешно осуществлять измерение.

4. Познание числа и «группа прорыва»

Теоретическое понятие натурального числа и само действие счета не формируется в Развивающем обучении. Учебные дискуссии ведутся не вокруг понятия натурального числа, а строятся вокруг предметного действия измерения-отмеривания, вокруг обсуждения успешных и не вполне успешных способов решения задачи измерения – вокруг той идеальной конструкции, которую В. В. Давыдов назвал теоретическим понятием числа (число есть отношение величин, число есть способ решения задачи воспроизведения величин). Способы решения этой учебно-практической задачи заранее сконструированы В. В. Давыдовым. Дети лишь воспроизводят в учебных дискуссиях заранее реконструированный взрослым способ поведения.

Вместе с тем это не просто «способ поведения», а определенный тип понимать, определенная форма образования понятий. Перечислим его основные особенности.

а) Понятие выступает как способ действия, как средство решения задачи, как инженерно-техническая конструкция.

б) Понятие существует в актах восхождения от абстрактного к конкретному, в актах развития в предзаданном направлении.

в) Генетически исходная клеточка понятия задается предметно- практически, деятельностно. Неправомерен вопрос: почему выбрана именно эта клеточка? Могло ли генетически исходное основание быть иным? Может ли «клеточек» быть несколько? Клеточка логически обосновывается дальнейшим развитием, конкретизацией. Невозможно внутреннее обоснование начала понимания.

Как это показано в работах В. С. Библера [Библер, 1975, 1991, 1993], такой тип понимания характерен для Нового времени. В философской логике этот тип понимания называется познанием. Культивирование в начальной школе исключительно познавательного (нововременного) типа обращения с понятием («теоретического понятия» по В. В. Давыдову) существенно ограничивает возможности детского учебного сообщества, в частности, в понимании числа. Ведь познающий Разум, логически осмысленный Гегелем и Э. В. Ильенковым – это только один из типов разумения, понимания, образования понятий. [Библер, 1991]. В. С. Библер пишет о переориентации разума от идеи «наукоучения» (как основы философии Нового времени) к философской логике культуры, к обоснованию начал взаимопонимания. «В идее «наукоучения» человек отделен от своих «продукций» и от мира, который он познает, сведен к активной, но пустотной точке познающего Я. Как личность он не присутствует в своих продуктах..., его неповторимая человечность носит абсолютно приватный... характер. Здесь человек существует – для разума – только в форме своих анонимных функций, в феноменах снятия и суммирования усилий, в своих внеличностных связях» [Библер, 1991, с.41].

Применительно к образованию это означает следующее. Нововременное, познавательное отношение к числу, не задумывающееся над вопросами: «Что есть число? Как возможен счет? Что есть единица и как она возможна? Что возникает раньше – число вообще или натуральное число? Возникает ли натуральное число из измерения или только используется измерением – тогда что же такое натуральное число и как оно возникает?» – а сразу полагающее в качестве «клеточки» готовый ответ: число возникает в ходе измерения величин и актом измерения-отмеривания порождается – проецируясь в плоскость начального обучения числу, пробуждает у учащихся особый (и достаточно ограниченный) набор способностей (и потребностей).

Это – способность «обобщения с места» – возможность быстрого усмотрения в, казалось бы разнородных явлениях (натуральное число, отрицательное число, ...) единого корня, единой потенции. Оборотной стороной этой важной способности анализа («сведения» чувственно-конкретного к абстрактному) является принципиальное невнимание к качественной специфике каждого отдельного математического объекта как особой загадки и трудности. Культивируемый в начальной школе познающий нововременной разум учит ребенка «проскакивать мимо» конкретных трудностей, самой возможности существования каждого отдельного математического объекта, учит не задумываться над вопросами типа «Как возможно число? Что такое отрезок-мерка? Является ли произведение двух чисел числом?»

К концу первого класса Развивающего обучения в каждом учебном сообществе образуется «группа-лидер» (термин А. К. Дусавицкого [Дусавицкий, 1983]), «группа прорыва» (термин Г. А. Цукерман), которая является носителем нововременного (познавательного) отношения к математическим и лингвистическим объектам. Как показывают наши наблюдения за работой «группы – лидера» в классах Развивающего обучения [Курганов, 1988], роль этой группы амбивалентна. В этой группе представлены носители тех форм обобщения, которые и позволяют «обобщать с места»:

а) Умение быстро переходить от учебной ситуации – к учебной задаче (принятие учебной задачи), т. е. способность к сведению всего многообразия учебных проблем (Что есть дробь? Как возможна дробь? Является ли дробь числом или парой чисел? Является ли числом знаменатель дроби? Как разделить мерку на произвольное количество равных долей?) – к одной задаче конкретизации исходной клеточки, к ее развитию в предзаданном нововременной логикой направлении, которое нужно угадать, почувствовать, как чувствуют «глухие ритмы эпохи» (Дробь есть новый способ воспроизведения величин... Дробь есть более совершенная, чем натуральное число, машина измерения).

б) Чувствительность к диалектическому противоречию (Ага, величина очень большая, а мерка – очень маленькая... Надо как-то усовершенствовать способ измерения... Как? О! Если я выберу мерку побольше и ею измерю… Здорово! Но тогда отмериватель по моему письму построит совсем другую величину... Он же не знает, что я брал новую мерку... Как быть, как быть-то?), т. е. умение представить возникшую трудность как временный спор двух несовместимых тенденций (позиций). Противоречие внешне «держится» как жаркий спор двух групп детей и представляет собой логический нерв учебной дискуссии [Цукерман, 1993].

в) Владение способностью гегелевского «снятия» противоречия в новом синтезе. Это многократно описанная Г. А. Цукерман [Цукерман, 1993] способность «группы прорыва» держать напряжение противоречия до тех пор, пока с помощью вопроса, обращенного к учителю (или счастливой догадки одного из лидеров) не выработается новый взгляд на вещи, превращающий предшествующие «правды» в бедные, односторонние, узкие, недостаточные. Тогда дискуссия сразу же прекращается, и дети переходят к усвоению общего способа решения учебной задачи.

Г. А. Цукерман в своих драматических (чтобы не сказать трагических) исследованиях учебной дискуссии последних лет показывает: как минимум пятая часть младших школьников не втягивается «группой прорыва» в учебную работу. По данным А. К. Дусавицкого и Г. А. Цукерман, лидирующая группа, задавая «образец учебно-познавательной активности» для всего класса, способна расширяться за счет первоначально более пассивных участников учебного общения. Но это расширение не беспредельно. Оборотной стороной укрепления «группы прорыва» является образование в каждом классе не менее 20% детей, которые не проявляют учебной активности не только в классе, но и в ситуации индивидуального констатирующего эксперимента. Г. А. Цукерман формулирует проблему очень остро: как минимум о пятой части класса мы ничего не можем узнать, какие бы методики психологического обследования мы ни применяли. Эти дети не проявляют себя, ускользая и от учителя, и от психолога, и от «лидирующей группы». Взрослые ничего определенного об этих детях (как о субъектах учебной работы) не могут сказать. Учебная речь «молчащего меньшинства» не открывается ни взрослому, ни другим детям.

Мы наблюдали таких тех детей, о которых пишет Г. А. Цукерман. Особенно ярко странность бытия учебного сообщества Развивающего обучения проявляется в третьем классе. Дети из «группы прорыва», с ходу понимая друг друга, учителя и учебную задачу, перебрасываются учебным словом, как мячиком, а за ними наблюдает «молчащее меньшинство». Что представляют собой эти другие, наблюдающие за дискуссией молчащие дети? Часть таких ребят мечтают прорваться в «лидирующую группу», и к концу третьего класса им это удается. Но остальные туда и не стремятся. Надо заметить, что среди них встречаются на редкость сообразительные ребята. Но способы общения, доминантные для лидирующей группы, формы разумения, которые лидирующей группой культивируются при поддержке учителя, оказываются чуждыми «молчащему меньшинству». На уроках-диалогах в Школе диалога культур [Библер, 1993, 1996; Берлянд, 1996; Курганов, 1989, 1993; Осетинский, 1996, 1998, Юшков, 1997 и др.], т. е. на уроках, где учитель и детское учебное сообщество культивируют различные типы разумения, укореняют формы образования понятий, не сводимые к нововременным, дети из «молчащего меньшинства» оказываются носителями интересных ученических инициатив. Это – герои наших книг: Ваня Ямпольский, Вадик Липчанский, Павлик Бондаренко, Дима Левдик, Олег Бухтатый, Аня Королева, Вадик Бабырев и другие. При изменении форм учебного общения и его содержания эти дети успешно отстаивают свое видение учебной проблемы, храбро споря (и соглашаясь) с участниками «лидирующей группы» – Мишей Гринбергом, Аней Кац, Аней Кушнир [Курганов, 1989]. (Речь идет о двух классах школы № 4 г. Харькова, в которых в начальной школе культивировалось Развивающее обучение, а начиная с третьего класса, в течение нескольких лет, наряду с Развивающим обучением, на уроках природоведения, математики, литературы, мифологии строились учебные диалоги, осуществлялись попытки построения диалогических понятий и обсуждения «вечных проблем бытия». Уроки проводили В.А.Ямпольский, В. Ф. Литовский и С. Ю. Курганов. Руководил экспериментальной работой В. С. Библер. [Библер, 1993, Курганов, 1989]).

Немаловажно, что первоначально в ходе самых первых учебных дискуссий о числе и слове дети зачастую переопределяют учебную задачу, пытаясь рассказать учителю и другим детям, что их волнует и интересует, что им непонятно и странно в измерении и чтении, числах и буквах. Но сама нововременная познавательная логика уроков «выталкивает» достаточно большое количество детей на периферию учебной дискуссии. И это происходит не потому, что учитель и другие дети невнимательны к мыслям и высказываниям таких учеников. Просто в том деле, которым занимаются дети, а они занимаются, скажем, измерением величин, вопросы о загадочности, неоднозначности, удивительности числа являются лишними, и дети очень скоро перестают их задавать, превращаясь в молчунов или научаясь работать по общим правилам познавательного квазиисследования.

5. Математика: авторский проект В. В. Давыдова.

Психолого-дидактическая программа В. В. Давыдова, связанная с построением принципиально иного математического образования школьников [Давыдов, 1962, 1966, 1969, 1972] была, на наш взгляд, гораздо более глубокой, чем ее нынешние методические осуществления. Так всегда и бывает, но именно поэтому полезно время от времени «перечитывать Давыдова», обнаруживая невоплощенные замыслы и глубоко поставленные проблемы. Что стоит за идеей «величинной» математики? Почему В. В. Давыдов вначале разрабатывал две альтернативные линии курса математики в начальной школе: теоретико-множественную и величинную [ср. Давыдов, 1966; Хо Нгок Дай, 1971, 1976]?

Речь шла о формировании учебной деятельности (умения учить себя) и теоретического мышления (как способа деятельности, овладев которым, можно научиться учить себя, и поэтому не очень-то и важен материал, на котором осуществляется учебная работа взрослеющего ребенка)? Или помимо всего этого ставился вопрос о становлении математического (и лингвистического) мышления школьника, т. е. о том, чтобы, решая задачи возраста, младшие школьники, подростки и старшие школьники проникали в загадки и тайны настоящих математических и лингвистических понятий? Нам кажется, что Э. В. Ильенков и В. В. Давыдов мечтали именно о втором, т.е. о таком психологически обоснованном обучении школьников, при котором им было бы интересно разбираться в основаниях современного знания (пусть это знание и понималось по-гегелевски, как развертывание познания).

Взглянем на «давыдовский» проект построения курса математики еще раз. Прежде всего, не стоит забывать, что «давыдовская» математика начинается не с числа и не с задачи воспроизведения величин. В логике Э. В. Ильенкова, т.е. в материалиcтически переосмысленной диалектике Гегеля, периоду «восхождения от абстрактного к конкретному» предшествует этап сведения чувственно-конкретного к его порождающей основе, «клеточке», абстрактному [Ильенков, 1960]. Это значит, что для того, чтобы всерьез построить подлинную «клеточку» будущего курса математики, необходимо предварительно «свести» к идее математической величины и меры все многообразие чувственно-конкретного опыта ребенка в становящейся предметной области (математике). Делает это В. В. Давыдов чрезвычайно своеобразно и интересно. По существу он строит свою, авторскую версию происхождения и развертывания математического знания (возможно, всего естественнонаучного знания). Строит, правда, В. В. Давыдов эту авторскую версию, будучи, возможно, «последним гегельянцем конца ХХ века» (метафора И. М. Соломадина).

(Заметим «в скобках», что в глубины идей В. В. Давыдова нет «царского пути». Психолого-педагогические гипотезы В. В. Давыдова непосредственно связаны с тем предметным материалом, который он осваивает сам и предлагает затем освоить младшим школьникам. Непривычное для психолога – гуманитария постоянное обращение к переосмыслению начал математики, вплоть до работы с конкретными математическими понятиями, здесь органично. Вне этой работы мысль В. В. Давыдова выхолащивается и превращается в привычный набор принципов, верных, но мертвых.)

Как В. В. Давыдов производит «сведение» чувственно-конкретного к абстрактному? Перед ребенком-дошкольником мир чувственно воспринимаемых вещей. Традиционная школа, формируя эмпирическое понятие числа, предлагает именно эти вещи начать считать. Приобретая навык счета, ребенок остается в пределах оперирования с конкретными вещами и в математическую предметность не открывает. Правда, в самой ранней своей работе, посвященной натуральному числу [Давыдов, 1957] и в самой поздней своей работе, посвященной натуральному числу, написанной в соавторстве с В. П. Андроновым [Давыдов, Андронов, 1979], В. В. Давыдов исследует процедуры пересчитывания и присчитывания и обсуждает загадку присчитывания – вне идеи числа как способа воспроизведения величин. По существу, эти две работы, замыкающие творчество В. В. Давыдова – конструктора программ по математике – с двух временных «сторон», уникальны, т. к. только в них В. В. Давыдов обсуждает натуральное число как конкретное математическое понятие, а не как этап в становлении теоретического понятия действительного числа. В этих работах как бы неявно опровергается тезис о том, что на натуральное число можно глядеть «очами разума» только через призму измерения. В этих работах В. В. Давыдову натуральное число интересно само по себе. Возможно, что и в обычной начальной школе учитель и дети, переходя от сосчитывания реальных вещей – к счету, предметом которого являются не вещи, а сами числа (или абстрактные метки – точки, никак не связанные с измерением) – могут попасть в идеальный числовой мир, где могут быть обнаружен интересный математический предмет – натуральное число (скажем, в смысле Пеано). Может быть, и не так уж обязательно идти к натуральному числу, строя сложную машину измерения – отмеривания и организуя в этой машине разрывы и трудности.

С точки зрения В. В. Давыдова и Д. Б. Эльконина, для ребенка - первоклассника мир чувственно-воспринимаемых вещей должен быть преобразован в мир мерок и эталонов, каждый из которых, по сути дела, порождает тот или иной учебный предмет. В объектах должны быть выделены и превращены в предмет квазиисследования значимые для науки признаки: длина, площадь, объем, масса, вес, электрический заряд, время, скорость, давление, плотность, температура и т. д. Чтобы «вырвать» из целостного объекта признак и превратить его в предмет квазиисследования, необходимо каждый раз конструировать новую учебно-практическую задачу (отдельно для длины, отдельно для массы, отдельно для веса и т.д.) Формируется учебно-познавательная процедура измерения физических величин. Эта процедура была исследована Н. И. Матвеевой под руководством В. В. Репкина в 70-х годах [Матвеева, 1973]. Чрезвычайно интересное в своих результатах (были впервые сконструированы учебные задачи, на основе которых младшие школьники открывали для себя производные физические величины – скорость, давление, силу тока), это исследование было, на наш взгляд, ориентировано скорее на идеи П. Я. Гальперина о формировании ориентировочной основы умственных действий третьего типа [Гальперин, 1966], чем на представления В. В. Давыдова об усвоении теоретических понятий. Внимание Н. И. Матвеевой и В. В. Репкина устремлялось не столько к построению конкретных физических понятий и их системы (что могло бы стать прообразом обучения физике), сколько к психологическому строению измерительного действия, к познанию законов измерения (аналог основного закона русского письма), т. е. общих способностей, усвоение которых позволило бы ребенку самостоятельно открывать новые и новые физические величины. Ценностью обладали не конкретные успехи в понимании физических явлений, а все время растущий опыт деятельности измерения и его ориентировочная основа – все более мощная и конкретная структура измерительного действия, открываемая самими детьми с помощью учителя.

Измерение в «дочисловом» периоде В. В. Давыдов трактует в очень широком смысле – как поиск меры-эталона, позволяющего превратить тот или иной признак – в величину. Здесь еще нет числа и счета, тем более здесь нет натурального числа. Конструируется задача (например, «Пройдет ли парта в дверь?»), позволяющая выделить в вещи определенный параметр (в данном случае – пространственный интервал) и затем исследовать его как величину (длину). Каждый раз приходится выяснять: а какую учебно-практическую задачу разрешает сведение длины, площади, объема, температуры и т. п.? В центре внимания исследователя (а затем учителя и детей) становится мир фундаментальных физических величин. Мир как бы разлагается на физические величины и вновь порождается из них. И тем самым – для ребенка – порождается учебная предметность и учебные предметы. Собственно об этом и рассуждал П. Я. Гальперин в своих последних статьях, когда сопоставлял разумность действий и предмет науки.

Для каждого предмета конструируется свой физический прибор, специальная установка, отделяющая признак от вещи и превращающая признак в величину (меру). Для длины таким прибором может служить дощечка с двумя гвоздиками или веревочка, для веса – вертикально расположенная пружинка, для объема – «ванна Архимеда». Этот прибор одновременно является «гомеостатом» [Аронов , Курганов, 1995 ]: термостатом, «объемостатом», «длинностатом», т. е. способом сохранять тождества: V = V, L = L , T = T. Например, горячая и остывающая в ходе опыта металлическая палочка не годится как мера длины, вода в открытом аквариуме не может быть мерой объема. Аквариум приходится запаивать, а это приводит к новым сложностям. Стоит нагреть воду, и часть воды переходит в пар. Сохранится ли объем воды в запаянном аквариуме? И что этот объем собой представляет? Можно поддерживать постоянную температуру палочки, но для того, чтобы палочка была мерой длины, ее нужно переносить. А вдруг выяснится, что ее длина изменяется при движении, например, сокращается. Что тогда?

Серьезная, ответственная квазиисследовательская деятельность детей (« seven -years-old-thinkers») требует при построении каждого конкретного физического «понятия-прибора» торможения процесса «сведения» конкретного к абстрактному и выхода из спиралевидного «пике» на плато спокойного и свободного интереса к предмету «сведения»: длине, температуре, площади, массе, весу.

6. Познание съедает понимание.

Если бы свободный интерес, связанный с пониманием конкретных физических объектов и явлений, культивировался бы в Развивающем обучении, то уже в I классе (не говоря уже о переходе из третьего класса в пятый) была бы возможна встреча детского интереса, детских вопросов – и вопросов, которые волновали самого В. В. Давыдова при построении учебной программы. Произошла бы встреча В. В. Давыдова с первоклассниками. Ведь вопросы, которые перечислены выше, имеют конкретных авторов. Изменяется ли длина палочки при движении? – спросил первоклассник Максим Исламов (Красноярск, школа № 106, 1987). Может ли мера объема – вода в аквариуме исчезать «в никуда» и как сохранить – на миллионы лет – эталон объема неизменным? – обсуждали по собственной инициативе третьеклассники Вита Котлик, Женя Ковалев, Аня Дидур, Костя Хавин, Вадик Липчанский, Юра Мащенко (Харьков, школа № 4, 1980 , учитель В. А. Ямпольский), и пятиклассник Дима Тищенко (Красноярск, школа № 106, учитель О. Францен, научный руководитель А. М. Аронов) [Аронов, Курганов, 1995]. Заметим, что Вита Котлик, Вадик Липчанский, Юра Мащенко и Дима Тищенко – типичные представители детей, молчащих на классических уроках Развивающего обучения и относящихся к тем 20 %, о которых с тревогой пишет Г. А. Цукерман.

Современные разработчики – методисты программ Развивающего обучения прошли мимо исследований Н. И. Матвеевой и не заметили скрытых возможностей дочислового периода (в терминологии В. В. Давыдова). Заботясь о начальном обучения естествознанию, они выстроили очень интересный и своеобразный курс, никак не связанный с дочисловым периодом обучения математике. Впрочем, в этом курсе, вполне в логике познания, дети занимаются не столько конкретными физическими или биологическими понятиями, сколько используют их как материал «восхождения от абстрактного к конкретному» в овладении методами научного экспериментирования (аналог основного закона русского письма у В. В. Репкина, структуры измерительного действия у Н. И. Матвеевой, воспроизведения величин у В. В. Давыдова). Интерес к предмету понимания, удивления, заставляющий остановиться и заняться именно этим предметом (понять, как возможен объем... вещества, как вещество, не меняя своего объема, меняет свое агрегатное состояние – или при этом все же происходит изменение объема – тогда что же такое объем?) – съедается познавательным интересом – страстью сведения всех конкретных предметов понимания – к единой основе с последующим восстановлением всего богатства конкретного как эпифеноменов, как частных форм проявления исходной «клеточки», исходной закономерности. Познание съедает понимание.

В ходе Развивающего обучения русскому языку дети овладевают теоретическим понятием фонемы (аналог числа вообще, числа как способа воспроизведения величин). Детское сообщество научается во всем многообразии явлений родного языка видеть одну линию «восхождения», связанную с обнаружением сильных и слабых позиций звуков в корнях, окончаниях, приставках и суффиксах, и, «обобщая с места», при встрече с новой орфографической задачей (аналог задачи измерения-отмеривания) усматривать в ней еще одну возможность развития инженерной способности применять основной закон русского письма. Теоретические понятия звука, согласного, гласного, звонкого, глухого, сонорного звуков, слога, ударения, отдельного слова, предложения, высказывания, текста – в Развивающем обучении не формируются, во всяком случае, в начальных классах. Эти понятия «втягиваются» в теоретическое понятие фонемы, но сами по себе берутся из дошкольного опыта ребенка. Они являются эмпирическими обобщениями и таковыми остаются на всем протяжении начального обучения. Детей не учат рассуждать о том, что есть отдельный звук, как возможно отдельное слово (и вообще что есть слово?), т. е. не учат понимать. Детей учат, проходя мимо отдельных лингвистических понятий, мимо их тайн и загадок, строить машину правописания, учат выделять и использовать законы работы этой машины. Развивающее обучение русскому языку (В. В. Репкин) строится как нововременное познание, т.е. как особый (и ограниченный) тип понимания предмета. Становится понятным то плохо скрываемое напряжение, с которым В. В. Репкин в работах последних лет объясняет, почему не следует в начальных классах содержательно-теоретически осваивать письменную речь как целостный феномен. Развитие речи – ахиллесова пята Развивающего обучения языку в начальной школе. Не очень ясно, как в логике В. В. Давыдова преподавать поэтику (см. исследования Л. И. Айдаровой и Г. А. Цукерман) и осваивать другие явления родного языка (скажем, выразительное чтение), которые с трудом поддаются обобщению по типу восхождения от абстрактного к конкретному. Включение подобных учебных материалов в начальное образование заставляет исследователей явно или неявно переходить от модели нововременного диалектического познания к представлениям о современном диалогическом понимании, включающем познание в качестве одного из своих голосов.

Можно предположить, что у детей, которые заинтересуются, скажем, согласным звуком самим по себе (вспомним В. Хлебникова или Р. Якобсона), как явлением родной речи, появится шанс оказаться среди 20% «великих немых», о которых пишет Г. А. Цукерман. В группу «молчащего меньшинства» этих ребят переведут наиболее яркие представители «группы прорыва» систематическим произнесением сентенций типа: «Опять ты, Коля, со своими смешными вопросами... Марья Ивановна, ну почему Таня опять уводит нас от темы разговора... Ну что ты, Кирилл, прямо как маленький, не понимаешь что ли...» и т. д.

Познание съедает понимание... Дух давит душу... И дело здесь не только в том, что индивидуальность ребенка, выступающего со своей учебной инициативой, может пониматься лишь как «капризная индивидуальность». Г. А. Цукерман замечает: «Школа В. В. Давыдова до сих пор концентрировала свои усилия на построении обучения, в котором ребенок делает всеобщие нормы мышления орудиями своей собственной мысли. В центре внимания школы В. С. Библера – способность выходить на границу любой нормосообразности. Мы не видим нужды в противопоставлении этих двух подходов к обучению: при абсолютизации второго существует угроза перерождения детской индивидуальности не в подлинную оригинальность творческой личности, а в оригинальничающую капризность» [Цукерман, 1993, с. 48].

Дело в том, уважаемая Галина Анатольевна, что закапризничать может не только ребенок, но и такое, казалось бы, надприродное (?) идеальное существо, как конкретное понятие. Такие конкретные понятия, как звук, согласный звук, гласный звук, буква, слог, ударение спросят: «Тетенька профессор! А почему ваши дети нами не занимаются? Почему они проходят мимо нас? Используют нас для чего-то другого, для этой фонемы? Для этого основного закона русского письма? Неизвестно еще, существует ли ваша фонема, или ее москвич М. В. Панов придумал. А вот мы-то: звук, буква, слово – существуем точно. Мы, может, и не живые (?), но мыслящие и ответно-говорящие. И если нас не понимают, то и мы – в ответ – поворачиваемся к детям такой своей стороной, такими своими элементами, что нас только познавать можно будет. Мы, звуки, запакуемся в фонему, прикинемся частными проявлениями общего закона... И попробуйте тогда к нам обратиться, как к субъектам, как к мыслящим, говорящим, живым! Как к «кусочкам» речевой стихии, речевой природы – ничего не выйдет! (Версию «кусочка» природы как Собеседника ребенка в обучении природоведению разрабатывает А. Н. Юшков [Юшков, 1997; Юшков, Курганов, 1996]). С нами ваши дети, тетенька профессор, общаться не будут, к нам с вопросами обращаться не станут. Они смогут лишь обсуждать законы нашего функционирования в рамках того или иного инженерного сооружения. Ваши дети будут говорить о нас без нас, в наше отсутствие. Мы перестанем существовать для них, уйдя к дошкольникам, поэтам и немногим филологам (Бахтину и Якобсону). И ваши пожелания соединить идеи Давыдова с идеями Бахтина, Роджерса и Корчака останутся красивой, но, увы, неосуществимой мечтой. Всех победит дяденька Гегель».

Г. А. Цукерман пишет: «Не раз обсуждая проблему собственной точки зрения с представителями школы «диалога культур», разрабатываемой В. С. Библером, мы встречали следующее возражение: на уроке, о котором здесь идет речь, ни о какой собственной (уникальной, неповторимой) точке зрения ребенка речи нет; здесь происходит присвоение (впрочем, корень «свой» в этом слове не случаен) общекультурной (для ребенка – учительской), одинаковой для всех точки зрения. Мы считаем, что совпадение точек зрения (в результате фиксации их исходных различий и последующей координации) не есть указание на то, что мнение учителя детям навязано, принято ими некритично. Понимание относительности любого знания, его неконечности, открытости, самоценности каждого шага познания – не единственное условие собственной позиции. Второе условие самостоятельности суждения как свободы от внешних влияний и принуждения изящно сформулировал А. Галич:

«Говорят, что где-то есть острова,

где четыре как закон дважды два,

кто б ни указывал иное гражданам,

четыре – дважды два для всех и каждого!»

Мы считаем, что подлинное свое-образие (свой образ мира) дети обретают а) овладев культурными нормами, б) преодолевая их ограниченность. И эти два процесса одновременны, они не могут принадлежать разным эпохам развития ребенка, как это происходит в современной педагогике: младший школьный возраст – возраст овладения нормами; подростковый – возраст их преодоления, взрыва, разлома. Именно владение всеобщей нормой и способность отнестись к ней со стороны отличает, к примеру, поэтическое творчество от донормативного детского словотворчества, оригинальность которого открыта не ребенку, а постороннему взрослому наблюдателю» [Цукерман, 1993, с. 48].

Все это очень логично и точно, уважаемая Галина Анатольевна. Но что Вы считаете культурной нормой обращения с понятием: а) превращение конкретного понятия в средство познания более общей закономерности, в рамках которой конкретное понятие перестает пониматься , т. е. перестает быть понятием – тем Другим, которого понимают – со всеми трудностями и радостями понимания Другого, о которых пишут М. М. Бахтин и Януш Корчак – и становится звеном «тяжкого пути познания» или б) более человечное (если угодно, Корчаковское, диалогическое) и более современное (Бахтинское, а не Гегелевское) обращение с понятием, при котором люди (дети и взрослые), формируя понятие, пытаются его именно понять, делая его все более глубоким, удивительным, загадочным?

На наш взгляд, уважаемая Галина Анатольевна, Вы напрасно переводите разговор в плоскость обсуждения нормы (Развивающее обучение) и преодоление нормы (Школа диалога культур). Эти педагогические концепции соотносятся, по-видимому, несколько иначе. Речь идет о диалоге (споре и согласии) двух различных философских, психологических и педагогических направлений (В. В. Давыдова и В. С. Библера) Это диалог о том, что есть нормальное (для начала ХХI века) понимание, нормальное образование понятий.

Важным промежуточным итогом нашего разговора с выдающимся современным психологом и знатоком детства Г. А. Цукерман является понимание (его не удавалось отчетливо оформить до разговора с Галиной Анатольевной) того факта, что диалогический подход к формированию понятий, идущий от желания реализовать в школьном обучении идеалы В. С. Библера, М. М. Бахтина и Л. С. Выготского («Мышление и речь», 7-я глава) может рассматриваться как одновременное движение человека к понятию и понятия к человеку. У ребенка есть свои вопросы к числу и слову, с этими вопросами он «носится» в дошкольном возрасте, они заново (и по-другому) рождаются на уроке. Но и понятие натурального числа (отрицательного, дробного, иррационального, мнимого числа – сами названия дорогого стоят!) строятся взрослыми и детьми так, чтобы им, понятиям, можно было задавать вопросы.

Замечательный физик Я. Е. Гегузин писал о живом кристалле. Понятие (в науке и обучении) по норме начала ХХI века может строиться как «живое», т. е. так, что каждый шаг его становления не снимает (как у Гегеля) противоречие, напрягающее познание, а все более углубляет и расширяет понимание, обозначает новые вопросы, включает в круг понятия все большее количество позиций, реальных Собеседников, неснимаемых «голосов» (М. М. Бахтин).

Чуть расшифруем метафору «живого понятия». Понятие является живым, если в ходе его построения людям удается создать некий «заповедник» (термин А. Н. Юшкова [Юшков. 1997 ] ), некий «третий мир» (К. Поппер), который, хоть и создан людьми, но живет своей особой жизнью. Люди-«пониматели» ( любимое словечко В. З. Осетинского [Осетинский, 1996, 1998]) создают некую экспериментальную установку (в том числе и в ходе обмена мысленными экспериментами), внутри которой начинает жить некий субъект понимания, некое бытие, до конца не сводимое к его пониманию, к мышлению и речи понимающих этот живой субъект людей. Примерами таких «заповедников», экспериментальных установок (установок на понимание) являются мир многогранников И. Лакатоса [Лакатос, 1967] (диалогическое понятие многогранника), мир жизни электрона в диалогах и мысленных экспериментах Бора-Эренфеста-Эйнштейна-Гейзенберга [Гейзенберг, 1990] (диалогическое понятие элементарной частицы), мир жизни натурального числа в диалогах и мысленных экспериментах интуиционистов, конструктивистов, формалистов (диалогическое понятие числа). Очень интересную попытку обустроить «заповедник» для выращивания диалогического понятия натурального числа предприняла И. Е. Берлянд в книге «Загадки числа» [Берлянд, 1996].

В этом отношении бесспорно, живым является мир измерения-отмеривания, созданный В. В. Давыдовым для построения теоретического понятия числа. Но нововременные понятия (В. В. Давыдов их называет «теоретическими»), в отличие от современных диалогических понятий, живут очень своеобразным способом. Они питаются конкретными предметными понятиями и умертвляют их, превращая в материал для строительства самих себя. «Теоретическое» понятие числа умертвляет понятие натурального числа. «Теоретическое» понятие фонемы умертвляет понятие слова.

7. Что такое величина? В. Давыдов и М. Хайдеггер.

Построив приборы, отделяющие признаки объектов от самих объектов, мы получаем понятия об отдельных, вообще говоря, независимых друг от друга, разнородных физических величинах (эталонах): длине, массе, электрическом заряде. Но для успешного «сведения» чувственно – конкретного к абстрактному нам необходимо образовать понятие величины «вообще», т. е. не длины, не массы, не объема, а именно величины. Здесь можно пойти по пути эмпирического обобщения (и именно так поступил В. В. Давыдов), выделив в разных физических величинах общее свойство (возможность равенства) и обозначив ( для изучения в «чистом» виде) этой свойство отрезками одинаковой длины, расположенных друг под другом ( графическая модель), а затем – в виде особого знака « = », имитирующего два одинаковых отрезка. Конечно, в построениях В. В Давыдова можно усмотреть логику формирования умственных действий по П. Я. Гальперину [Гальперин, 1966]: сначала действие выполняется в материальной форме (парта протаскивается в дверь; два объекта уравновешиваются на пружинных весах), затем это же действие выполняется в материализованной форме – на отрезках, затем в знаково-символической форме – с помощью букв, затем – в форме громкой речи и затем – в умственном плане. Но какое именно предметное действие необходимо интериоризовать, усваивая теоретическое (в смысле В. В. Давыдова) понятие величины? Поверхностный ответ: действие замены (мостик поломался, нужно подобрать объект, такой же по длине). Но почему мы изображаем равенство объектов по тому или иному признаку с помощью одинаковых отрезков длины? Случайно ли это? Может быть, интериоризации подлежит именно особое действие приведения конкретного параметра к длине, понимание его как особого пространственного интервала? Впрочем, обобщение эмпирическое (как и теоретическое обобщение) не любит подобных вопросов...

Э. В. Ильенков в статье «Количество» [Ильенков, 1962] попытался сконструировать теоретическое понятие величины, развивая мысль Ф. Энгельса о том, что предметом математики являются пространственные формы и количественные отношения. Э. В. Ильенков предположил, что количество есть качество в его пространственно-временном аспекте. Качества (признаки) вещей начинают приобретать количественные характеристики (становиться физическими, химическими, биологическими величинами), когда начинают пониматься как особые формы пространства и времени (более развитые и конкретные, чем само пространство – время). В этом вопросе Э. В. Ильенков оказался более последовательным гегельянцем, чем В. В. Давыдов. В. В. Давыдов вообще был склонен извлекать логические идеи Гегеля из его космогонических идей и рассматривать логику Гегеля лишь как метод. Для Э. В. Ильенкова была актуальна задача материалистического переосмысления гегелевской космогонии: чистые формы пространства – времени (математическая величина) развиваются, конкретизируются, обрастая качествами как шерстью, листьями, кожей, кожурой, порождая физические, химические, геологические и другие величины. Пространственно-временная структура, эволюционируя, нагружается новым качеством, преображаясь в природную (физическую ) величину. В ходе эволюции (если угодно, Большого взрыва) первыми порождаются пространство и время. Флуктуации пространства – времени порождают более сложные формы жизни, более сложные существа природы, например, искривленное пространство-время (тяготение), массы и пр. Конечно, для Гегеля исходной, порождающей структурой были чистые формы мышления, которые затем одеваются в пространственно-временные формы (и выступают как инобытие идеи). Для Э. В. Ильенкова было важно посмотреть на открытые Гегелем процессы глазами материалиста. Раз физика, химия, геология, биология – это более конкретные и развитые «хронотопы» (физическое пространство, геологическое пространство), то анализ, т.е. сведение чувственнно-конкретного к абстрактному, должен происходить как обнаружение в качествах пространственно-временных характеристик. В простейшем случае получается, что качество становится величиной, когда может трактоваться как своеобразная длина, своеобразный пространственный интервал.

Физический прибор, превращающий качество (признак) объекта в величину, должен каждый раз решать задачу сведения качества к длине. Когда процесс такого сведения произведен со всеми без исключения качествами (претендующими на превращение в величину, т.е. на измеримость) и мы получаем эталоны основных величин, физическая длина становится величиной вообще, клеточкой любой величины, теоретическим понятием физической величины. Например, образовать понятие температуры – это значит научиться понимать температуру как особый пространственный интервал. При этом получается прибор, называемый термометром.

Дидактическая реализация этих идей превращает дочисловой период изучения математики в период порождения различных предметов. Дети втягиваются в конструирование различных приборов. Каждый из приборов – это особый мир: мир физики, химии, биологии... Осмысленность и связанность этим предметным мирам придает мир математики, в котором пространственно-временные отношения изучаются в «чистом виде».

Как и в других областях, последовательное применение принципов диалектики приводит к целому ряду продуктивных антиномий. Рассмотрим некоторые их них. Первое. Физические процессы, происходящий в запаянном аквариуме (термометра, динамометре) очень быстро становятся интересными сами по себе, а не в связи с задачей сведения конкретного к абстрактному, к величине вообще. Логика работы в рамках Развивающего обучения потребует разобраться с одним, вторым, третьим прибором, а затем – забыть о них, занявшись «математикой» – сравнением, сложением, вычитанием величин вообще. Для понимания температуры, массы, веса как особых длин отводится не так уж много времени. А уж как только введено число – к величинному материалу более не возвращаются. Он по-гегелевски снят в идее числа.

Второе. Так как в качестве порождающей основы физического мира выбирается длина (а не более сложный пространственный объект), то физический мир предстает в дочисловом периоде как линеаризованный, одномерный. Не просто пространственноподобный, а подобный отрезку прямой. В какой мере измерение (понимаемое как линеаризация) ухватывает специфику данной величины и приводит к пониманию ее природы? В какой мере мы начинаем понимать природу температуры, изобретая градусник?

Третье. Это проблема сведения конкретного к абстрактному внутри «пространственных» величин. Получается, что мы понимаем площадь и объем, сводя их к длине. Например, объем предмета может быть сведен к изменению высоты уровня воды в ванне Архимеда. Но понимается ли при этом площадь как площадь, а объем как объем? Как иначе отделить площадь и объем от формы тел, имеющих площадь и объем? А угловые величины? Сводятся ли они к длине (дуги окружности) при измерении – или измерение углов мы производим как-то иначе? А каким образом измеряют криволинейные траектории? А как из простейших элементов математического мира – отрезков – может возникнуть все богатство современной математики, во сто крат более сложные «топосы» (пространственные структуры), чем отрезки? Ведь, скажем, для построения географического, исторического и поэтического пространств (и, соответственно, для порождения таких предметов, как география, история, поэтика) явно недостаточно линейных конструктов и географических, исторических и поэтических «величин».

Так, Мартин Хайдеггер пишет: «Но пространство – оно все равно то же самое? Или оно не то пространство, которое нашло свое первое определение только после Галилея и Ньютона? Пространство – та однородная, ни в одной из возможных точек ничем не выделяющаяся, по всем направлениям равноценная, но чувственно не воспринимаемая реальность? А что, если объективность объективного мирового пространства есть фатальным образом коррелят субъективности такого сознания, которое было чуждо эпохам, предшествовавшим европейскому Новому времени?.. Остается нерешенным, каким образом пространство есть и можно ли ему вообще приписывать какое-то бытие. Пространство – не относится ли оно к тем первофеноменам, при восприятии которых, по словам Гете, человека охватывает род испуга, чуть ли не ужаса? Ведь за пространством, казалось бы, нет уже больше ничего, к чему его можно было бы возводить... Собственная суть пространства должна выявиться из него самого. Позволяет ли она еще и высказать себя?» [Хайдеггер, 1991, с. 95-96].

Вновь возникает вопрос о том, отвечает ли культурной ситуации ХХI века столь значимая для В. В. Давыдова и Д. Б. Эльконина позиция субъекта учебной деятельности, заняв которую, ребенок начинает видеть не отдельные, качественно разнообразные вещи, «произведенные» природой и людьми, не существа природы, а учиться, не замечая вещи, устремляться к исследованию параметров этой вещи, в конечном счете превращая реальное пространство, образованное вещами и местами вещей в то, что Хайдеггер называет «физически-техническим» пространством. Хайдеггер пишет: «... если физика решительно оформляется в математическую форму, то это значит, что благодаря ей и для нее нечто... условлено принимать как заранее «уже известное». Эта условленность распространяется не более и не менее как на проект того, чем впредь надлежит быть природе перед искомым познанием природы: замкнутой в себе системой движущихся ориентированных в пространстве и времени точечных масс» [цит. по Хайдеггер, 1991, с. 101].

Пространству, понятому как совокупность величин (а именно это понимание пространства укореняет в дочисловом периоде В. В. Давыдов), пространству, которое является проектом познающего разума Нового времени, М. Хайдеггер противопоставляет иное понимание пространства. Пространство для философа ХХ века – это мир вещей – произведений, уникальных, неповторимых творений, наиболее последовательно и остро воплощаемых в скульптуре и архитектуре. «Пока мы не видим собственную суть пространства, речь о каком-то художественном пространстве тоже остается туманной. Способ, каким художественное произведение пронизывается пространством, повисает сначала в неопределенности... Если только признано, что искусство есть про-изведение истины в действительность и что истина означает непотаенность бытия, то не должно ли в произведении пластического искусства стать основополагающим также и истинное пространство, то, что раскрывает его интимнейшую суть?... Но как мы можем найти собственную суть пространства?... Попробуем прислушаться к языку. О чем он говорит в слове «пространство»? В нем говорит простор... Простор есть высвобождение мест. В просторе и сказывается, и вместе таится событие. Эту черту пространства слишком часто просматривают. И когда ее удается рассмотреть, она все равно остается еще трудно определимой, особенно пока физически-техническое пространство считается тем пространством, к которому должна быть заранее привязана всякая характеристика пространственного» [Хайдеггер, 1991, с. 96 - 97].

Пока мы находимся внутри машины научно-познавательного («теоретического») мышления, пока мы вместе с Гегелем, В. В. Давыдовым, Э. В. Ильенковым строим теоретическое понятие пространства, понять, что есть пространство, возможно ли оно, отнестись к пространству как к живому понятию, к «Ты», к предмету понимания, – очень трудно. Отодвигая от себя «физически-техническое пространство» как проект мышления Нового времени, Хайдеггер медленно и аккуратно выстраивает свой «заповедник», в котором особой жизнью будет жить его, авторски выстроенное произведение – диалогическое, живое понятие пространства. «...Простор несет с собой свободу, открытость для человеческого поселения и обитания. Простор, продуманный до его собственной сути, есть высвобождение мест, в которых судьбы обитающего человека повертываются к целительности родины, или к гибельной безродности, или уже к равнодушию перед лицом обеих. Простор есть высвобождение мест, вмещающих явление Бога, мест, покинутых богами, мест, в которых божественное долго медлит с появлением... Место не находится в заранее заданном пространстве наподобие физически – технического пространства. Последнее впервые только и развертывается под влиянием мест определенной области... Скульптура – телесное воплощение мест, которые, открывая каждый раз свою область и храня ее, собирают вокруг себя свободный простор, дающий вещам пребывать в нем и человеку обитать среди вещей» [Хайдеггер, 1991, с. 97-98]. Диалогическое понятие пространства [см. Библер, 1993, Арсеньев, Библер, Кедров, 1967] приглашает к разговору о том, что есть пространство, к процессу понимания филолога и путешественника, физика, строящего общую теорию относительности, и знатока творчества Хлебникова, Платона и Эйнштейна, создателя средневекового собора и толкующего колокольный звон Гете: «Не всегда необходимо, чтобы истинное телесно воплотилось; достаточно уже, если его дух веет окрест и производит согласие, если оно как колокольный звон с важной дружественностью колышется в воздухе» [цит. по Хайдеггер, 1991, с. 99].

Такие разговоры о пространстве вполне доступны первоклассникам. Так, первый урок-диалог математики в Школе диалога культур [Библер, 1988], который мы проводили в 1-д классе гимназии «Универс» в 1987 году, проходил так [Курганов, 1993 , с. 158-159]. Еще не очень знакомые друг с другом ребята разделились на три группы. Учитель развел их в разные места школьного двора так, чтобы дети одной группы не видели детей из остальных групп. А теперь – задание: как можно быстрее собраться всем вместе! Только через 35 минут дети смогли собраться. Вернувшись в класс, каждый ребенок с помощью учителя нарисовал свой путь к месту встречи.

У. Почему мы так долго искали друг друга?

Д. Надо всем вместе... Надо всем вместе бежать в одно место. Тогда в этом месте мы будем опять вместе... А это место надо как-то прометить.

У. Как?

Д. Надо яму в этом месте выкопать... Надо краской это место прометить... А зачем? Место-то никуда не денется, не убежит!.. Надо кирпич поставить в это место... Или палку... А можно встретиться возле уже поставленной кем-то палки... Вот у нас во дворе есть такая очень заметная мачта. На ней поднимают флаг нашей школы.

Дети выбирают ориентир и рисуют его на доске в виде флажка. Теперь по общему рисунку (результату диалога – согласия) любой ученик нашего класса поймет, где надо встретиться.

Д. Флажка мало. Надо нарисовать и точку М – место встречи.

У. Зачем?

Д. Ветер может мачту сломать... Нам же не мачта нужна, а место встречи. Надо это место нарисовать... А мачта – это только метка. Мы ею прометили... А надо само место как-то нарисовать... Иначе подумают, что нам сама эта мачта нужна... Если бы не было мачты, мы ямку бы выкопали или краской покрасили бы это место. Не в мачте дело!

У. (обостряя диалог-спор) А если бы мачты не было, краски не было, никаких вещей, предметов, меток не было бы – было бы наше место?

Д. ...Конечно, было бы! Место всегда есть. А всякими вещами мы только промечаем это место... Предметами метим!

У. (рисует на доске) Вот гора. А вот ее вершина. Эта вершина «промечает», как вы говорите, точку А. А если срыть гору, точка А, место, будет?

Дети колеблются. В. С. Библер сказал бы, что первоклассники попали в «точку удивления» [Библер, 1988]. Одни ребята твердо уверены, что даже с исчезновением всех предметов места все же останутся. Другие в этом не убеждены. Самое время развернуть дискуссию в группах, используя педагогические технологии Е. Е. Шулешко Шулешко, 2000, с. 11-13].

Так начинают первоклассники свои размышления о математике, свое построение «математических заповедников» (Можно начать первый день в школе и с построения заповедника для выращивания диалогического понятия натурального числа, как это предлагает И. Е. Берлянд в книге «Загадки числа» [Берлянд, 1996]). К разговору о загадках места, к вылепливанию диалогического понятия пространства легко подключился бы философ ХХ века: «Место открывает всякий раз ту или иную область, собирая вещи для их взаимопринадлежности в ней <...> А область? Более старая форма этого слова звучит «волость». Это то же слово, что латинское valeo, «здравствовать». Оно именует собственное владение, свободная обширность которого впервые позволяет каждой владеющей им вещи раскрыться, покоясь в самой себе <...> Поднимается вопрос: разве места – это всего лишь результат и следствие вместительности простора? Или простор получает собственную суть от собирающей действенности мест? Если последнее верно, то нам следовало бы искать собственную суть простора в основании местности, следовало бы подумать о местности как взаимной игре мест <...> Место не находится в заранее заданном пространстве наподобие физически – технического пространства. Последнее впервые только и развертывается под влиянием мест определенной области <...> А что станет с пустотой пространства? <...> Возможно... пустота сродни собственной сути места и потому есть вовсе не отсутствие, а произведение. Снова язык может нам дать намек. В глаголе «пустить» звучит «допущение» <...> Пустой стакан значит: собранный в своей освобожденности как способный вобрать содержимое <...> Пустота не ничто <...> В скульптурном воплощении пустота вступает в игру как ищуще-проектирующее выпускание, создание мест» [Хайдеггер, 1991, с. 96-98].

Мартин Хайдеггер, создавая современное понятие пространства, дарит нам образ иной логической работы, альтернативной по отношению к гегелевской диалектике. То, что для Г. А. Цукерман выступает как всеобщая норма мышления (теоретическое обобщение в трактовке В. В. Давыдова), в современной философии (М. Хайдеггера, В. Библера, М. Бахтина, М. Бубера) рассматривается как устаревшая логическая форма, абсолютизация которой (т. е. как раз превращение в норму современного мышления, с которой должен сообразовывать свои учебные действия младший школьник) не только затрудняет взаимопонимание людей, но и делает невозможным адекватное понимание пространства, времени, числа, слова, звука и других загадок природы и человеческого бытия.

Вместе с тем, в отличие от М. Хайдеггера и вслед за В. С. Библером [Библер, 1975, 1991] мы не просто «отодвигаем» нововременной познающий разум, отгораживая территорию для заповедника, в котором живут понятия ХХ века. Мы пытаемся строить работу на границе понимания, характерного для ХХ века, и – нововременного познания. Мы пытаемся, подобно Ж. Кусто, приручить акулу познания, склонную все живое вокруг превращать в органы собственного существования. Это дело сложное и опасное – построить заповедник, собственной территории не имеющий, да еще на границе с агрессивной территорией Развивающего обучения, которое всегда мыслило себя единственно верной концепцией образования, трактующей остальные концепции как односторонние, неполные, нуждающиеся в обобщении и преобразовании. Можно попасть в группу «молчащего меньшинства». А можно остаться и без пишущей руки, и без мыслящей головы.

Стратегия построения диалогических понятий в образовании намечена В. С. Библером: «Современная физика, математика, биология, гуманитарное мышление фиксируются сегодня в тех средоточиях, где они обращаются к собственным началам (минимум с ХУП века), пересматривают эти исходные научные понятия, понятия познающего разума, становятся сомнительными для самих себя... Такова судьба важнейших научных понятий ХХ века, сближающая их теоретические формы с формами детского удивления. Впрочем, эти формы сближаются, но не отождествляются. Они в границах видимости друг для друга. Но расстояние достаточно, чтобы возникла предельная напряженность. Из ХУП века мы вязли какие-то основные аксиомы, на которых сложилась сложная дедукция. Теперь все это должно быть определено и обосновано заново... Итак, научное знание сегодня становится самосомнительным, вновь обращается к тем точкам, где оно возникло (в определенном повороте мышления на научное познание) и где оно казалось до последнего времени само собой разумеющимся и необходимым. Такой оборот дела существенен для всей школьной педагогики... В самых лучших своих вариантах школа развивающего обучения (В. В. Давыдов) рассуждала примерно так: возьмем современные понятия как наиболее развитые, а затем посмотрим, как к ним шло человечество, все более уточняя свое знание – от абстрактного к конкретному, вплоть до подлинных современных понятий. Затем просмотрим, как возможно в школе построить этот ход к конкретным сегодняшним понятиям, наиболее эффективно... развивая познающее мышление ребенка, юноши, человека. Мы ставим вопрос иначе. Современные понятия берутся одновременно и как наиболее конкретные, как высшая ступень развития классической науки и вместе с тем как наиболее сомнительные для самих себя, обнаруживающие именно в своей предельной развитости, конкретности свою элементарность, свою изначальность... На вершинах современного знания вновь возникают вопросы ( «А так ли это?», и «Как это возможно?») по отношению к пространству – времени, протяженности, неделимости, по отношению к самому бытию человека...» [Библер, 1993, с. 17 - 18].

Акула не съест. Акула будет кусать себя за хвост. Задумываясь над своими началами, машина познания будет превращаться в заповедник. Хочется в это верить.

И, наконец, четвертое. Современные учебные предметы порождаются не просто как особые топосы, но как хронотопы (М. М. Бахтин). А как уловить специфику порождения идеи времени в Развивающем обучении? В. В. Давыдов, цитируя Уитроу, любил повторять, что время – это не величина, а нечто иное. Но что? Какие учебные задачи приводят к введению идеи времени вообще, а затем – исторического, биологического времени, времени художественного произведения? В физическом приборе эталонная величина не порождается из ничего, а снимается как статичный параметр объекта (признак). Предполагается, что в скрытом виде образец величины (эталон) уже есть в вещи, прибор лишь обнаруживает параметр, обрабатывая вещь, поворачивая вещь соответствующим образом, так, чтобы скрытый параметр обнаруживался явно. Например, бесформенная вещь обрабатывается на токарном станке, и тогда с идеального цилиндра легко «считывается» длина. Сама по себе величина мыслится как неизменная и скрытая в вещи. Не ухватывается процесс порождения (из ничего, из нуля, например, из абсолютного нуля температуры, в котором температуры еще нет) величины и процесс изменения величины (изменение рассматривается только как сложение двух статичных, равных себе, уже полученных как-то образцов – палочек). Такое понимание затрудняет формирование действий сложения и вычитания величин. Это впервые заметил Б. Д. Эльконин, предложив использовать в качестве модели разности двух величин не веревочку, а резинку. Такое понимание вовсе исключает время из дочислового периода. Все пространственные преобразования дочислового периода происходят как бы вне времени, предполагают, что все уже произошло, и этот мир уже сложился таким, какой он есть и пребывает неизменным. Его можно лишь измерить.

8. Заповедник диалогического понятия.

Метафора диалогического понятия как «заповедника» очень важна. Строя свой заповедник, в котором будет жить и пониматься такое существо, как пространство, М. Хайдеггер заранее огораживает его «меловым кругом», метя территорию, на которую не сможет покуситься акула теоретического понятия пространства. Заповедник имеет границы. Эти границы не позволят нововременному познанию превратить конкретное, живое, единичное ( оно одно, единственное, неповторимое, уникальное) понятие – в элемент «системы понятий», в материал теоретического обобщения («Отдельное понятие может существовать только посредством системы понятий» – цитирует Л . С. Выготского В. В. Давыдов [ Давыдов, 1972 , с. 197]. Границы заповедника защищают конкретное, единичное, уникальное диалогическое понятие от слепой силы обобщения (диалогическое понятие вообще не связано с идеей обобщения) и позволяют понятию быть не «видом обобщения», а формой свободного общения людей разных культур, эпох, профессий, возрастов, собравшихся в заповеднике, чтобы вместе строить и понимать предмет понятия – загадочное существо: пространство, время, натуральное число, атом, клетку, амебу, звук, слово, сказку, многогранник, точку, линию, молнию, дождь, замок, рыцарский турнир, собор...

А. Н. Юшков пишет о заповеднике: «Порой человеку просто необходимо... найти свой Заповедник. Например, пустырь и пруд. А кому-то – поляну, берег реки, большой трухлявый пень и огромный муравейник...». «В течение многих лет моим самым горячим желанием было иметь уголок земли, не особенно большой, но отгороженный и тем самым избавленный от неудобств проезжей дороги; уголок заброшенный и бесплодный, выжженный солнцем и годный лишь для чертополоха и насекомых. Там, не боясь помех со стороны прохожих, я мог бы вопрошать своих ос – аммофиллу и сфекса, мог бы предаться тому собеседованию, в котором вопросами и ответами служат наблюдения и опыты...» (Ж. А. Фабр). Заповедником становятся и биологическая лаборатория, и коралловый атолл, и океанская бухта, и лужа, в которой живут коловратки, амебы, дафнии, инфузории и зеленые водоросли. Все эти места отмечены особой печатью установившихся отношений между человеком и живущими там существами...» [Юшков, 1997, с. 5]. А. Н. Юшков мечтает превратить обучение биологии в построение своего Заповедника: «Кабинет биологии можно было пересечь за несколько секунд, но, входя в него, мы всякий раз ощущали себя в настоящем, таинственном, полном кипучей, неведомой жизни царстве природы» [там же, с. 5]. Развивая мысль А. Н. Юшкова, можно было бы добавить: Кабинет математики можно было пересечь за несколько секунд, но, входя в него, мы всякий раз ощущали себя в настоящем, таинственном, полном кипучей, неведомой жизни царстве числа.

Как же выстраивает свое «царство числа» В. В. Давыдов? Поняв разнокачественные природные (физические) величины как каждый раз особенные длины (пространственные интервалы – шкалы различных приборов: каждый прибор имеет смысл только в связи с возможностью преобразования конкретной физической величины в вид длины, то есть, в связи с возможностью построения шкалы; сам физический процесс должен быть «снят» в устройстве прибора и рассмотрен лишь как механизм образования шкалы), В. В. Давыдов тем самым осуществил целостный акт познания физической величины, образовал теоретическое понятие физической величины. Каждый из приборов, создание которого приводит к конструированию понятия частной (с лица необщим выражением – Е. Боратынский), индивидуальной, конкретной величины (заряда или площади) может быть (при ином, чем у В. В. Давыдова, логическом взгляде) «выгорожен» из процесса построения теоретического (в смысле В. В. Давыдова) понятия числа и превращен в «заповедник», в диалогическое понятие, в «вечный вопрос бытия», в загадку, в «точку удивления». Стоит только задуматься о том, как возможен заряд, что такое заряд, существует ли он вне заряженного тела, почему зарядов ровно два вида – и мир зарядов и заряженных тел предстанет как отдельное диалогическое понятие, втягивающее в себя, как в своеобразную «воронку» опыты и размышления Эрстеда и Фарадея, Демокрита и Эпикура, Эйнштейна и Бора. При этом каждый голос человека, пытающегося понять, что есть заряд (и существует ли он), не «снимается» в познавательной машине, а понимается как неповторимый и важный. Изменяется и понимание измерения. Измерение в актах понимания, формирования диалогических понятий, выстраивается не как сведение разнокачественных вещей и явлений к единой «порождающей» основе, но как понимание заряда как чего-то иного, чем он сам (сущность заряда – это расстояние между двумя заряженными телами в приборе Кавендиша), а как из-мерение, придание разным явлениям природы разных мер. «Понятие-заповедник» может рассматриваться как имеющая динамические границы «доля» (мера, мойра). В рамках своих границ сбывается судьба диалогического понятия, возникает, растет, изменяется (а, бывает, болеет и умирает – если понимающие люди не договорились и перестали ухаживать за понятием, лепить его, возжигать его, глядеть за ним) предмет понимания – каждый раз особенное индивидуальное «существо», обладающее рядом качеств живого существа. Пытаясь понять пространственно-временные (количественные) определения «заповедника» – диалогического понятия – мы научаемся нащупывать и слышать топические и ритмические «рисунки» – исходный предмет современной математики. Мы начинаем создавать математические заповедники, как условия жизни современных математических понятий.

Замечательный математик и физик, профессор В. А. Ямпольский рассказывал, что в ходе решения некоторых (достаточно простых по форме) дифференциальных уравнений на экране компьютера возникает пространственно-временная (топическая и ритмическая) картинка «живого» решения уравнения. Жизнь решения дифференциального уравнения (сложная, трудно предсказуемая, наполненная флуктуациями и бифуркациями) возникает «почти из ничего», только в результате перевода математических мыслительных процедур (теория дифференциальных уравнений) на язык компьютерной графики (то есть в область не только мышления, но и сознания, восприятия и общения, со-бытия с тем, кого пытаешься понять). Математический прибор позволяет увидеть понимающим математические «существа» людям. Само пространство-время математического события (пространство-время, порождаемое математическим событием) возникает сразу как сложное, нелинейное, как «ищуще-проектирующее создание мест», как «про-изведение истины в действительность». В понятии –произведении современных математиков собственная суть пространства выявляется из него самого и получает шанс высказать себя (М. Хайдеггер). Когда в произведениях математиков конца ХХ века мы видим собственную суть пространства и можем общаться с этим пространством как с особым живущим «существом», «кусочком математической природы», математика перестает быть только совокупностью познавательных проектов, навязываемых действительности. Оставаясь математикой, то есть практикой создания заповедников, где живет «чистое» пространство-время, порождая свой предмет вначале на кончике бумаги (дифференциальное уравнение, аксиомы натурального числа, определение многогранника) она открывает нам «возможности мест», пульсирующее и живущее пространство-время как таковое, и тем самым проливает свет на то, как может быть обустроено пространство художественного или биологического произведения, пространство романа или природного заповедника.

Конечно, жизнь такого «существа», как диалогическое понятие точки или многогранника, нельзя понимать слишком натурально, то есть как естественные рост, дыхание, питание, движение, размножение. Заповедник – это все же биологическая метафора, задающая образ современного понимания. Живые существа, которые понимает математик или физик – это прежде всего существа идеальные, созданные мыслью авторов понятий-произведений. Но это такие идеальные существа, которые, будучи однажды созданными, начинают сопротивляться произвольному с ними обращению.

Заповедники создавали многие. И. Лакатос – для понятия многогранника [Лакатос, 1967], Нильс Бор, Альберт Эйнштейн, Пауль Эренфест – для понятия элементарной частицы [см. Гейзенберг, 1990], Жан Анри Фабр – для биологических понятий [см. Юшков, 1997], Януш Корчак – для педагогических [Корчак, 1990]. Все эти заповедники дожили до конца ХХ века. Их обитатели волнуют нас и по сей день. Логическую форму заповедника, позволяющую понять явления природы, сконструировал А. Н. Юшков [Юшков, 1997]. Нам показалось интересным соединить конструкцию А. Н. Юшкова с тем пониманием мышления, которое развивает В. С. Библер [Библер, 1975]. Представилось интересным найти и проанализировать такие формы общения современных ученых, философов, поэтов, художников друг с другом и с существами природы (в том числе и с существами, выращиваемыми в ходе их понимания), которые с необходимостью предполагают создание и удержание диалога культур, диалога логик, диалога различных форм понимания.

Под диалогическим понятием мы разумеем такую форму жизни людей разных возрастов, разных культур и исторических эпох, которым удалось собраться вместе для понимания одного-единственного загадочного предмета (существа природы): числа, слова, многогранника, атома, звука... Этот загадочный предмет понимания первоначально задан как некоторая интуиция существования. Например, для всех участников события диалогического понятия (ведь понятие может сбыться, а может и не состояться, если его строители – понимающие друг друга и существо природы люди – не сумеют договориться) число как-то существует в виде интуиции счета или ритма. Понятия еще нет, понимающая группа – создатель заповедника понятия – еще только начинает собираться, но существо, требующее, чтобы его поняли, интуитивно схватывается будущими участниками понимания как существующее, как самобытийствующее, как живущее вне пределов понимания, как загадка, как предмет будущей мысли.

Предмет понимания, загадочное существо природы, имеет самые разные возможности и интенции роста, усложнения, размещения в пространстве-времени, ритмической организации, ландшафтного расположения и организации пространства своего существования, дыхания, питания, движения (полета, ползания, вхождения в штопор), размножения.

Эти возможности угадываются и подхватываются строителями понятийного заповедника: математиком и филологом, экскурсоводом и путешественником, клоуном и гимнастом, физиком-экспериментатором и любителем насекомых. Интуиции жизни предмета понятия проясняются и оформляются как формы мысли, как разные возможности бытия, как разные возможности сбывания мысли, как разные логики и культуры понимания (соучастия в создании идеальных существ, живущих независимо от их создателей: элементарных частиц, дифференциальных уравнений, многогранников). Это обстоятельство создает благоприятные возможности для подключения к построению диалогического понятия не только профессионалов (и дилетантов) конца ХХ – начала ХХI века, но и философов, поэтов, ремесленников, путешественников, теоретиков, шутов, королей, работников и лентяев разных культур.

Конечно, это прежде всего диалог разных голосов. Это разговор двух или более лиц. Но сам по себе разговор не всегда способен оживить природу и привести ее в сознание. Диалог это еще и труд – создание «вещих вещей». О числе начинает размышлять Пифагор, осуществляя одну из возможностей жизни загадочного существа природы – числа. Отвечая ему, благодарное и отзывчивое существо – число – впитывая идеи Пифагора, дыша воздухом пифагорейского учения о гармонии, обустраивается и растет, оборачиваясь фигурным числом. Чтобы число зазвучало как музыка сфер, Пифагор сконструирует струну и другие музыкальные инструменты – те «вещие вещи», без которых бытие пифагорейского числа не осуществится. Вне голоса и ремесла античного музыканта обсуждать пифагорейское число невозможно. Другие античные мыслители будут обустраивать число по-иному. Иными будут и привлекаемые (создаваемые) «вещие вещи». Один автор, пытаясь понять число, займется исчислением песчинок. А еще один начнет строить рычаг, весы, наклонную плоскость, разные виды блоков, ибо, с его точки зрения, временной ритм числа должен быть снят в архитектонике, статичном строении орудий, чреватых движением.

Античные философы, музыканты, скульпторы, понимая число, оживляя его самыми различными способами, строя число как осмысленное явление бытия и как загадочный предмет мысли, будут озабочены «устроением зрелища», внутри которого возможно явление числа, сбывание числа для античного человека [Ахутин, 1990]. Необходимо место действия, такое специальное устроение сценического пространства, чтобы глаз зрителя был настроен видеть то, что хочет выявить в природе вещей знаток числа. Философ, математик, поэт, скульптор, музыкант, обустраивая число, обустраивают взор зрителя – того, кому адресовано создающееся число, кому оно сказывается, для кого оно впервые сбывается. Понятно, что таким зрителем является и сам автор числа [ ср. Ахутин, 1990, с.9 ]. Для создания античного понимания числа необходима музыкальная организация действия – создание ритмического и мелического строя, который с самого начала охватывал бы действия построения понятия единством античной формы. Так обустраивается слушание числа [Ахутин, 1990, с. 9].

Античное число понимается (в контексте построения современных диалогических понятий) в той мере, в какой выступает как герой греческой трагедии со своей судьбой. Ведь, как пишет А. В. Ахутин, «основное качество трагического героя, благодаря которому его действие способно обрести завершенную целостность, а он сам – осуществиться в нем, – это качество – последовательность и неуклонность последования» [Ахутин, 1990, с. 12]. Понятно, что это качество – просто определение натурального числа.

Натуральное число создается античным разумом как неуклонность последования, как мера и смысл всего сущего, стремясь к выяснению истины (все есть число?), желая отвечать за все сущее (своим развитием и порождением новых видов чисел) ввергает себя в «трагическую ошибку». Тем самым героически восходящий ритм, идущий в беспредельность (пространства, времени, развития числовых систем) сменяется трагическим ритмом образования целого, события сбывания античного числа, целого, имеющего начало, середину и конец. За один день жизни трагического понятия число возникает (как осознающее само себя, как пришедшее в сознание существо), героически последовательно развернется, демонстрируя «хюбрис» – упрямую, ослепленную и упоенную своей правдой однозначность, некую надменность воли, пренебрегающую достоинством Другого ( всех других, ведь «все есть число»), и вместе с тем – героическую ответственность за весь мир и за себя, вступит в пору расцвета (пройдет через «точку акме») и завершится (как античное число) в трагической перипетии – прозревании трагедии несоизмеримости. «Сей день родит тебя и уничтожит». (Софокл. «Эдип-царь»). Число, развертываясь и побеждая косную материю всего того, что не есть число, с легкостью решая вековые загадки и воцаряясь в мире философии, музыки, математики, – в идее несоизмеримости трагически завершает себя. Число попадает в ситуацию трагической амехании. Понятие не может дальше двигаться. Число не может считать, а мера – измерять. «Трагическая апория, амехания, остановка и недоумение приводят к узрению какой-то изначальной несходимости, несоизмеримости в человеческой, космической и божественной природе» [Ахутин, 1990, с. 20 - 21]. Герой (понятие числа), попавший в ситуацию амехании, обращается к зрителям с вопросом о возможности собственного существования. Как любит говорить В. С. Библер, с призывом: «Спасите наши души!» Если проблему несоизмеримости решить нельзя, если число в основе своей иррационально, разумом не постижимо, то трагедия античного числа приводит к окончательной гибели героя.

Но кто – зрители в этом трагическом театре? Что за «полис» приводит себя в сознание перед лицом античного числа? Это – люди, глубоко заинтересованные в сохранении числа как неумирающего, как вечно живого, загадочного, героического существа: поющего, как Орфей, прекрасного и гармоничного, как Аполлон, деятельно – инструментального, как Гермес, остановленного и трагического, как Эдип. Это – люди, способные ответить на вечные вопросы бытия, обнаженные античным числом, иначе, развивая иное (средневековое, нововременное) понимание числа. Это Алкуин и Николай Кузанский, Ньютон и Галилей, Декарт и Кант, Спиноза и Гегель, Хлебников и Хайдеггер, Кантор и Лакатос, Эйнштейн и Пиаже. Им заповедано античное число. Они – провиденциальные (слово Осипа Мандельштама) собеседники античного числа. Греки выстроили, оживили и погубили своего героя – натуральное число. И греки не могут сами, без других культур оживить число. А без оживления числа их собственная жизнь теряет смысл. «Вечные вопросы бытия», которые герой – натуральное число – задает средневековому, нововременному и современному зрителю – это вопросы о возможности бытия античного космоса, созданного и разрушенного идеей числа как начала всего. Спасти число изнутри античного мира невозможно.

Средневековые и нововременные участники события диалогического понятия числа тоже не просто «говорят» с Пифагором и Евклидом. Средневековый и нововременной голоса диалогического понятия звучат внутри сложной архитектоники средневекового и новововременного понимания. Например, средневековое понятие числа требует построения (мысленного) Храма и Школы в округе Храма [Библер, 1993 ]. Храм, школа, цех – это совсем другие архитектурные сооружения, необходимые для сбывания понятия числа, чем античный театр. И число в средневековом понимании похоже не на героя трагедии, а, скорее, сначала на подмастерье, который стремится стать мастером и поначалу только упражняется в умении считать (число в школе Алкуина), а затем – на мастера, изготавливающего шедевр, в котором проступают черты Творца (число у Николая Кузанского). [Библер, 1993 ].

Современное диалогическое понятие удерживает разные грани, разные возможности определения того, что значит «быть числом». Так подготавливается новая норма обращения с понятиями, которую будут осваивать дети ХХI века.

9. Возможно ли теоретическое математическое понятие?

Вновь вернемся к В. В. Давыдову, обустраивающему дочисловой период. Натуральное число – это математическое понятие. Натуральное число есть отношение математической величины к мере. Физические приборы – натянутая веревочка или динамометр – сводят разные качества вещей к физической длине, к протяженности. Для того, чтобы поставить задачу воспроизведения величин, приводящему к математическому понятию натурального числа (числа «живут» на числовой прямой, мера – это математический отрезок этой же прямой, и все это – идеальные объекты), нужно свести физическую длину – к длине математической. Нужно построить предметно-деятельностное, теоретическое понятие математической величины.

Здесь возникает парадокс, впервые отмеченный А. М. Ароновым [Аронов, 1993, 1994]. Нововременные понятие математической величины, с одной стороны, должно быть понятием теоретическим, то есть возникать в ходе осуществления предметно-практического действия и моделирования. С другой стороны, оно должно оставаться математическим понятием. В традиции математики Нового времени лежит стремление быть «царицей наук», то есть строиться на основе априорных, доопытных предположений. Культура нововременного математического размышления строится по схеме: Введем такой-то и такой-то математический объект. Он имеет (по определению) такие-то и такие-то априорные характеристики. Тогда...

Те способы формирования теоретических понятий, которые приводили к открытию физической величины, не годились при работе с величиной математической. С подобной трудностью встретился Я. Дадоджанов [Дадоджанов, 1979], когда попытался выстроить систему теоретических понятий геометрии в Развивающем обучении. Он различил геометрию как физику и геометрию как математику. Для построения учебных задач, открывающих школьникам геометрию как физику, достаточно известных методов работы с понятиями. А вот для построения математических понятий точки, прямой, плоскости и пр. требуются новые методы, связанные с «выдумыванием», априорным изобретением возможных идеальных миров. Здесь нельзя поставить учебно-практическую задачу. Задачи сразу носят учебно-теоретический характер. Квазиисследование сразу осуществляется с идеальными, воображаемыми конструктами. Можно ли сохранить содержательность (предметно-деятельностный характер) усвоения математических (априорных) понятий? Возможны ли теоретические математические понятия?

Ответ неочевиден. В. В. Давыдов лишь сформулировал гипотезу о такой возможности. В практике Развивающего обучения дети работают с физическими величинами. Знаковые конструкции (отрезки и буквы) возникают в первом классе как эмпирические обобщения. Натуральное число строится в первом классе как приспособление для решения задачи воспроизведения физических величин. Модель натурального числа – числовая прямая – возникает как понятие эмпирического типа. Учебных задач, открывающих для первоклассника теоретическое понятие прямой и числовой прямой, не ставится. Числовая прямая выступает не как модель теоретического понятия математической величины, а скорее как изображение реальной дороги, на которой откладываются реальные образцы физической длины – мерки.

Иногда возникает трагическое недоумение: а есть ли – в экспериментах В. В. Давыдова с понятием – хоть один «ведущий частный случай» осуществления, сбывания мечты о возможности теоретического понятия? Или теоретическое понятие есть лишь мечта, «регулятивная идея», задающая горизонт для психодидактических исследований, а на практике мы вместо теоретических понятий всегда имеем нечто иное? Существуют ли теоретические понятия?

10. Учитель читает лекции.

В исследованиях профессора Красноярского университета А. М. Аронова наметился следующий ответ [Аронов, 1993, 1994; Аронов, Курганов, 1995]. Да, теоретическое математическое понятие возможно. Для ребенка оно возможно не в первом классе, а, скажем, в пятом. В пятом классе ученики Развивающего обучения встречаются с построением математической действительности и фигурой математика-профессионала. Математик-профессионал (его роль играет учитель, хотя возможна и встреча с настоящим математиком) изменяет форму учебной деятельности. Вместо проведения привычных для начальной школы уроков-дискуссий математик начинает читать лекции. Лекция – это особый жанр. Вопросы можно задавать только в конце лекции, а затем обсуждать на семинаре. Перед тем, как сформулировать свои вопросы – нужно понять, на какие вопросы должен отвечать лектор, напряженно двигаться вместе с его мыслью, законспектировать лекцию в тетради (одновременно усваивая приемы конспектирования).

Сами лекции могут проходить как построение – на глазах у слушателей – математического понятия величины, как априорного и, вместе с теми, как содержательно-теоретического. Реконструируем логику одной из таких лекций. Цикл лекций, формирующих у пятиклассников содержательно-теоретическое понятие математической величины, был прочитан в гимназии «Универс» г. Красноярска в рамках построения подростковой школы Развивающего обучения. Учителя – С. Курганов и О. Францен, руководитель эксперимента А. М. Аронов [Аронов, Курганов, 1995].

Представим себе, что математик имеет возможность порождать из ничего (вытягивать из точки) сколь угодно длинную прямолинейную конструкцию бесконечно маленькой ширины. Идеальное «вещество», из которого «изготовляется» подобная конструкция, способно извлекаться из точки и непрерывно распространяться («ползти») в одном и том же направлении. Созданная воображением математика конструкция и называется математической величиной. С математической величиной математик может производить действие «замораживания». Он произвольно прерывает процесс непрерывного получения величины и помещает продукт в некий «математический холодильник». Результатом математического замораживания является конкретное значение величины а , способное сохранять самотождественность при любых условиях ( а = а). С помощью замораживания математик может получить в принципе бесконечное количество различных значений математических величин, которые можно сравнивать, складывать и вычитать. Мы получаем мир отдельных значений математической величины, сохраняющих самотождественность.

Очень существенно, что в каждом замороженном значении математической величины а – отрезке АВ скрыто движение, впервые порождающее этот отрезок, движение идеального вещества из начала А в конец В. Когда математик выполняет сложение а + b (или АВ + ВС), он выкладывает отрезок АВ сразу весь, так, что путь от А до В проходится мгновенно. Необходимость определенного процесса, определенного времени для осуществления перемещения из А в В скрадывается математическим изделием (произведением математика) – отрезком а = АВ. Мы сталкиваемся со скрытой процессуальностью скалярной величины. Не случайно В. В. Давыдов говорил, что измерение задает динамическую модель величины.

11. Математик конструирует число.

Только теперь математик может поставить перед собой и перед слушателями следующую задачу. Зададим определенное значение скалярной величины и назовем ее мерой е. Мы знаем, что любое значение математической величины а может быть получено непрерывным порождением из точки (ползающим, а не шагающим движением) с последующим замораживанием. Нужно ответить на вопрос: возможно ли научиться получать любое значение математической величины иначе, а именно путем откладывания меры е или ее долей?

Можно предположить, что эта задача имеет решение. В качестве решения и выступает действительное число, которое возникает как теоретическое математическое понятие. Действительное число образуется в ходе решения определенной задачи. Эта задача для своего решения предполагает разворачивание длительного математического эксперимента – преобразования созданной математиком предметной действительности (особой протяженности), обнаружения ее оснований – особенно в ситуации несоизмеримости величины с мерой. Поэтому действительное число возможно как содержательно-теоретическое понятие. Вместе с тем, оно возникает как априорно-математическое понятие, так как исходная задача и предметно-преобразующее действие производится в особом «математическом заповеднике», в воображаемом, идеальном (единственном, уникальном) пространстве, априорно введенном математиком. Предметное действие здесь является мысленным экспериментом.

Теперь, кажется, все готово для построения «заповедника», в котором сможет жить теоретическое понятие натурального числа. Как мы уже знаем, В. В. Давыдову построить такой заповедник не удалось, и что таится за теоретическим понятием натурального числа, осталось загадкой. Попытаемся эту загадку отгадать.

Мы вместе с математиком и пятиклассниками, которые слушают его лекции и посещают его семинары, задумались над проблемой: можно ли любое значение скалярной математической величины выразить через одно из значений, принимаемых в качестве меры? Или – по-другому – существует ли в мире значений скалярной величины мера? Являются ли значения величины некими уникальными «монадами», или они есть продукт отмеривания: качественным своеобразием обладает лишь мера, эталон математической протяженности, как только она получено – остальное «дело техники» дело промышленного производства любого значения величины.

Размышления В. В. Давыдова о воспроизведении величин сдвигаются в плоскость обсуждения возможностей измерения как идеального математического экспериментального действия. Ведь пока не изобретены натуральные числа, дроби и иррациональные числа (т. е. конкретные математические понятия), ответ на вопрос о возможности измерения как познавательного математического действия, открывающего нам новые числовые миры) остается открытым.

Итак, к делу. В каждом замороженном значении величины е сокрыто движение от абсолютного нуля до е , от А до В ( АВ = е). Выкладывая меру е , мы получаем возможность бесконечно быстрого перехода от А к В , так как концы математического отрезка А и В касаются математической поверхности (плоскости, на которой производится откладывание) одновременно. Очень многие величины можно легко строить, образуя суммы типа А D = е + е + е. Непрерывное «ползание» от А до D заменяется сложением. Для понимания сложения приходится выстраивать особый «заповедник», где порождается и живет идея целого, части, суммы. Понятие сложения величин глубоко обсуждается в работах Г. Г. Микулиной [Микулина, 1969].

Но чем отличается сложение А D = АK + KD (или АD = а + b) от сложения: АD = е + е + е ? В случае обычного сложения мы имеем образцы величин, меньших данной. Мы образуем из этих частей целое. Движение от А до K закодировано в отрезке АK. Его мы выкладываем сразу весь. Затем следует пауза, остановка, фиксируемая знаком « + ». В паузе мы прилаживаем второй отрезок к первому, ориентируясь на определенную геометрическую структуру (Это может быть и отрезок, и ломаная, но не может быть, скажем, «крест»). После паузы мы выкладываем сразу весь отрезок KD , то есть сразу все (мгновенное) образование величины KD (движение от K до D).

Уже в сложении различных величин: А D = AK + KD = A + b воспроизведение величины A D приобретает вполне ощутимый ритм. Натуральное число уже имманентно содержится в акте сложения. Можно сказать, что у целого A D есть части: AK и K D ,а можно с к азать: у целого есть часть и еще часть. Еще очевиднее, если мы предпримем более опосредствованное уравнивание: A D = AK + K M + MD , или A D = A + b + c. Мы с к ажем: A D есть часть, и еще часть, и еще часть. Или мы скажем отмеривателю: величина строится (существует) в таком ритме: отложи – прервись, отложи – прервись, отложи – прервись. Для того, чтобы складывать, шагать (а не ползти), необходимо неявно втаскивать в решение задачи воспроизведения величин – идею ритма, то есть представление о чередовании атома и пустоты, действия и остановки, звука и тишины, заполненного и пустоты, наличия вещи и ее отсутствия.

Что это за идея? Применительно к задачам измерения – это идея времени. Разные значения величины, с помощью которых мы ее воспроизводим – это разные скорости воспроизведения. Сравнивая части вытянутой из точки величины, то есть сравнивая величину внутри себя самой, мы выполняем сравнение пространственных и интервалов, работаем с чистым пространством. Сравнивая замороженные отдельные (отделенные от своей порождающей основы – идеи непрерывного, никогда не рвущегося движения – движения вне всякого ритма, движения – покоя: мы можем вытянуть величину любой длины, в нашем воображении есть сразу вся бесконечная длина, то есть покой) значения величины друг с другом ( a больше b), мы сравниваем различные скорости измерения.

Для того, чтобы свободно переключать эти скорости, а затем выстроить специальную «коробку передач» (умножение, многоразрядное число, дроби) необходимо научиться складывать одинаковые мерки, то есть воспроизводить величины с постоянной скоростью, равномерно (и прямолинейно). То, что кинематика Ньютона (идея равномерного прямолинейного движения) столь тесно связана с ньютоновской идеей числа, с решением задач «на движение», прошло мимо внимания В. В. Давыдова. Вместе с тем, В. В. Давыдов соединял порождение числа с идеей движения: «Когда человек оперирует со словом, он действует не в идеальном, а лишь в словесном плане. Это обстоятельство было продемонстрировано нами на материале экспериментального исследования, направленного на изучение закономерностей формирования математического действия сложения чисел у детей дошкольного возраста. Было показано, что с «идеальным бытием» словесно заданных чисел – слагаемых соотносится особая форма идеального действия сложения, связанная со своеобразным («сквозным») движением руки ребенка вдоль предполагаемого ряда предметов, которые создают требуемое слагаемое» [Давыдов, 1986, с. 33].

Переход к равно-мерному прямолинейному движению – измерению связан с идеей постоянной скорости измерения и особым ритмом чередования откладывания одной и той же меры и перерыва между откладываниями. Важен переход от формулы A = e + e + e к формуле A / e = о оо , в которой каждый математик и физик с легкостью обнаружит длину ( A), скорость ( e) и время (натуральное число).

Еще очевиднее связь натурального числа с идеей времени обнаруживается в классических заданиях В. В. Давыдова, которые он предлагает детям, чтобы убедиться, что у них сформировано понятие числа [Давыдов, 1962]. В. В. Давыдов предлагает изменить мерку и проанализировать, как изменяется число с изменением мерки. Теоретически мыслящий ребенок, во-первых, отказывается характеризовать величину определенным натуральным числом, если ему не дана мерка, и, во-вторых, понимает, что с увеличением мерки число уменьшается и наоборот. Это и понятно: увеличение мерки влечет за собой увеличение скорости измерения: «за раз», «за один темп», за единицу времени (обозначаемую меткой) может быть отложено (пройдено) большее расстояние.

Идея скорости в кинематике Ньютона связана не столько с оформлением интуиции движущегося тела, имеющего определенное количество движения, сколько с отделением скорости от количества движения, что превращает измерение движения – в движение измерения. Измерение Ньютона – Давыдова порождает абсолютное (кантовское) пространство – математическую величину и использует идею абсолютного (вообще говоря, независимого от пространства и актов измерения) время – мерами зажигающееся и мерами угасающее чередование «бытия» и «ничто». Два этих мира – пространство и время – можно рассматривать независимо друг от друга. Аксиомы математической величины в явном виде идеи числа не содержат. Аксиомы Пеано, которые можно трактовать как описание мира чистых ритмов – мира времени как такового – в явном виде не содержат пространственных характеристик. Можно сказать и иначе. Актом измерения, актом встречи пространства со временем, пространство и время впервые порождаются как независимые миры. Именно благодаря своей независимости они могут взаимодействовать, образуя декартово пространство-время: систему координат, в которой одна из осей – временная, а вторая –пространственная.

С другой стороны, вне идеи ритма пространство может описываться лишь топологически. Переход к метрическому пространству, как мы уже видели, неявно эксплуатирует идею ритма. И наоборот, натуральное число как чистое время, как смена единицы и нуля, атома и пустоты, события и его отсутствия, достаточно легко ускользает при исследовании, если его не изображать с помощью пространства, не вписывать в пространство. Так возникают метки – одинаковые протяженные вещи, разделенные пустотой. Метки, в отличие, скажем, от метронома, настраивающего наш слух, способны ритмизировать и наше зрение. Мы можем изобразить и увидеть ритм как протяженность. Вообще, часы – это интересный прибор, который, являясь заповедником для поддержания бытия времени, равно как и заповедником для натурального числа, настраивает наше зрение и наш слух на восприятие и удержание ритма. Заметим также, что изображение события понятия на доске (или на тетрадном листе), к которому всегда стремится учитель, организуя диалог с детьми, можно трактовать как обустроение пространства жизни понятия (в смысле М. Хайдеггера).

В пифагорейской математике число, возможно, рассматривалось и вне идеи времени, как пространственная структура, как прекрасное произведение, как скульптура. Д. Я. Стройк замечает, что пифагорейские фигуры значительно старше пифагорейского числа, так как некоторые из них мы находим в неолитической керамике [Стройк, 1990, с.57]. Да и само движение мыслилось как покой, как статичное напряжение, как орудие, чреватое возможным движением [Арсеньев, Библер, Кедров, 1967]. Декартова переменная величина разрушила этот мир, возникший как ответ на апории Зенона, и вместе с этим внесла в математику движение и диалектику. Последствия диалектического понимания математики мы и попытались здесь проанализировать.

12. В. В. Давыдов и вечные проблемы бытия.

Деятельностный подход, разворачивающий акты познания и выращивающий понятия – орудия осуществления этих актов, учит нас понимать число как отношение величин. Мы попытались понять «давыдовское» число не только как орудие, но и как проблему. Понять как проблемное, не равное себе, удивительное, парадоксальное орудие. «Давыдовское» число оборачивается «вечными проблемами» бытия пространства и времени, протяженности и ритма. Но эта вечность – особая. Речь идет о вечных проблемах, которые возникают в мире, понятом как предмет научного познания. «Давыдовскую» математику можно развернуть диалогически. Но это все же будет диалог внутри познающего разума. Конечно, учитель математики, идущий к первоклассникам или к пятиклассникам с идеей построения «заповедника», в котором будет жить проблемное, не равное самому себе, внутренне-вопросительное понятие числа как отношения величин, – окажется в более выгодном положении, чем учитель, который полагается только на учебники Развивающего обучения и методические пособия к ним. Но, все же, отправляясь к детям, учитель способен сделать еще один шаг – начать разбираться с современным диалогическим понятием и с историей становления понятий. В. В. Давыдову не удалось, даже в снятом виде, включить в нововременное понятие числа античное, средневековое и современное понимания. Как ни проблематизируй практику измерения, не вырвешься из кантовского абсолютного пространства, которое само себя измеряет с помощью чисел-ритмов, живущих где-то вне пространства и, по существу, непознаваемых. Натуральное число остается «вещью в себе».

Наши наблюдения показывают, что только часть учащихся младших и подростковых классов склонна мыслить и представлять математический мир таким, каким его видит и мылит В. В. Давыдов. Другие интуиции детей, которые могли быть культурно проинтерпретированы как близкие к античному, средневековому и современному пониманию математики, не могут подхватываться и включаться в работу учителями Развивающего обучения в силу их ориентации исключительно на нововременное понимание числа. Мало того, даже в рамках этого подхода забываются исходные математические проблемы, загадки и парадоксы (нововременного разума), ради разрешения которых В. В. Давыдов построил свою величинную версию математики. Величинная математика В. В. Давыдова начинает выступать как полностью завершенная, лишенная внутренних парадоксов и трудностей, как то, что написано в учебниках и требует лишь присвоения.

Так, В. В. Давыдов, В. И. Слободчиков и Г. А. Цукерман пишут: «...уникальной попыткой решения вопроса о том, в какой форме ребенку может быть представлено его меняющееся Я (вчерашнее, сегодняшнее, завтрашнее) является опыт С. Ю. Курганова [Курганов, 1989], разработавшего технику порождения и фиксации детских «монстров» (термин И. Лакатоса [Лакатос, 1967]) – промежуточных образов, гипотез, догадок, которые становятся реальным орудием ненормированной мысли ребенка, средством удержания и обнаружения своего индивидуально-неповторимого видения мира. Но своеобразная «майевтика» С. Курганова имеет свое жесткое ограничение: она работает в области «вечных» вопросов, которые заведомо не имеют однозначных, нормативных ответов и возникают на границе известного и не известного никому. Мы же, строя учебную деятельность, говорим о движении ребенка от известного к не известного ему лично, но написанному в учебниках, о том, как ребенок делает фиксированный в учебнике (ничей, анонимный) культурный опыт своим собственным (о-сваивает его)» [Давыдов, Слободчиков, Цукерман, 1992, с. 17].

Не время и не место обсуждать, как выглядит в системе координат выдающихся специалистов Развивающего обучения наши исследования учебного диалога. Для этого нужно развернуть встречную аргументацию и изложить теоретические основы Школы диалога культур [Библер, 1996]. Удивляет другое. Противопоставляя РО и ШДК, учебную дискуссию и учебный диалог, В. В. Давыдов, В. И. Слободчиков и Г. А. Цукерман чрезмерно суживают представление о РО, хотя бы в сравнении с ранними работами В. В. Давыдова [Давыдов, 1972]. С точки зрения В. В. Давыдова, изложенной в классических исследованиях [Давыдов, 1962, 1972, 1986], неверно полагать, что в учебной деятельности ребенок движется к тому, что написано в учебниках. Может быть, такая редукция и произошла при обучении русскому языку, когда вместо многообразия возможного учебного содержания [Панов, 1967; Эльконин, 1960; Жедек, Репкин, 1974; Шулешко, 1964; Айдарова, 1966] и дискуссий об основаниях исходных понятий разработчики перешли к одной (и единственно верной) концепции В. В. Репкина. Может быть. Но в области преподавания математики ничего похожего, к счастью, не произошло. О каком учебнике идет речь? Если в лингвистике таким учебником, к которому можно редуцировать норму размышлений о родном языке, можно считать книгу М. В. Панова «Русская фонетика» [Панов, 1967], то в математике учебника, в котором излагалась бы давыдовская концепция величины и числа, не существует. В. В. Давыдов создал не учебник под названием «Вот, уважаемые разработчики, как теперь надо понимать число», не новую норму понимания числа. В. В. Давыдов публично размышлял о сущности натурального и действительного числа, искал ту родовую предметную деятельность, которая с необходимостью приводит к теоретическому понятию числа. Ни в каких учебниках «норма» этой деятельности не дана, ибо авторы учебников математики вовсе не озабочены деятельностным построением своего предмета. В. В. Давыдов призывал математиков, физиков, психологов, педагогов начать исследования родовой предметной деятельности воспроизведения величин, которая по гипотезе В. В. Давыдова должна была ввести ребенка и взрослого в мир теоретического понятия числа. Эта работа была начата В. В. Давыдовым и поддерживалась его учениками. Было выстроено несколько учебно-практических ситуаций, деятельностно порождающих разные грани понятия числа: введение умножения, многоразрядного числа, обыкновенной и позиционной дроби, отрицательного и комплексного числа [Давыдов, 1969; Давыдов, Цветкович, 1969; Бархаев, Захарова, 1980; Боданский, Курганов, Фещенко, 1977 и др.]. При этом вскрылись существенные трудности и проблемы, о которых мы частично сказали выше. Даже в начальных классах при построении самых элементарных числовых форм далеко не весь математический материал «упаковывался» в соответствии с логикой восхождения от абстрактного к конкретному. На каждом этапе «сведения-восхождения» возможности существования содержательно-теоретического понятия числа выступает не как норма, а как проблема.

Приведем совсем простой пример «капризности» конкретного математического понятия. Понятие дроби, по исходному замыслу В. В. Давыдова и Ф. Г. Боданского, формируется у учащихся третьих классов. Именно в третьем классе были размещены две принципиальные для развития теоретического мышления детей учебные ситуации: воспроизведение величин, меньших, чем стандартная мера, и воспроизведение направленных величин. Обе ситуации радикально изменяли сложившееся у детей понятие натурального числа и позволяли входящим в подростковый кризис учебному сообществу с новых позиций посмотреть на свое ученичество в начальной школе. Способом решения задачи воспроизведения величин, меньших, чем мера, является переход к измерению величин, происходящему в два этапа. На первом этапе стандартная мера изменяется так, чтобы ею было удобно измерять величину. На втором этапе производится измерение величины измененной мерой. Результатом этого предметно-преобразующего действия является новый математический объект – пара натуральных чисел. Первое число «рассказывает» о том, как мы изменяли стандартную меру, а второе число – как применять новую меру. В первом и втором классе подобный способ действия активно использовался для решения задачи воспроизведения величин, много больших меры и приводил к понятиям произведения (умножения) и многоразрядного числа. В третьем классе этот способ нужно конкретизировать. Первое натуральное число (знаменатель) указывает, на сколько равных долей нужно раздробить меру, а второе число (числитель) указывает, сколько раз нужно взять уменьшенную меру.

Мы получаем теоретическое понятие «дроби вообще», исходную клеточку для построения содержательного понятия дроби во всех ее модификациях, вплоть до позиционной систематической дроби – двоичной, десятичной и пр. Но получаем ли мы здесь теоретическое понятие обыкновенной дроби, например, такой, как 1/3? Думается, нет. И вот почему. Для того чтобы третьеклассник образовал понятие обыкновенной дроби, он должен так конкретизировать сложившееся в учебном сообществе умение воспроизводить величины, чтобы научиться делить меру на 3 равные доли, на 5 равных долей и так далее. Это обстоятельство прошло мимо внимания В. В. Давыдова и Ж. Цветковича [Давыдов, Цветкович, 1969], которые активно критиковали «наглядную концепцию дроби», принятую в школьной математике, как раз за то, что детям предлагают работать с объектами, уже разделенными на равные доли, и называть эти объекты новыми словами. Состав предметного действия, порождающего конкретное, частное, индивидуальное понятие обыкновенной дроби В. В. Давыдов не исследует, как и не исследует состав предметного действия, порождающее конкретное понятие натурального числа. Нормативный ответ на вопрос о том, как разделить отрезок e на нужное количество равных долей, в математических учебниках имеется. Решение этой задачи нашел древнегреческий философ Фалес. Фалес предложил построить угол. На одной стороне этого угла Фалес откладывал тот отрезок, который нужно раздробить, скажем, на 3 равные доли. А на второй стороне угла Фалес откладывал три любых равных отрезка. Соединяя конец последнего отрезка с концом того отрезка, который нужно раздробить, Фалес проводил параллельные прямые, рассекающие наш отрезок на нужное количество частей.

Очевидно, что ни о каком восхождении от абстрактного к конкретному здесь речи нет. Понятия угла, параллельности, подобия «втягиваются» в ситуацию измерения – отмеривания, а не порождаются из нее. Формирование конкретного понятия обыкновенной дроби требует не конкретизации, а коренного преобразования всей предметной основы сложившегося действия. Еще в 70-е годы, работая под руководством В. В. Давыдова и Ф. Г. Боданского [Боданский, Курганов, Фещенко, 1977] , мы обратили внимание на то, что каждый новый «узел конкретизации» теоретического понятия числа требует разработки своего «геометрического обеспечения». Для дробей нужны параллельность и подобие, для отрицательных чисел – векторы и центральная симметрия (поворот на 180 градусов – образование вектора, противоположного направленной мере), для комплексных чисел нужно владеть идеями поворота, гомотетии, перпендикулярности. Опять возникает вопрос: а существует ли на самом деле восхождение от абстрактного к конкретному, описанное Э. В. Ильенковым, или это – недостижимый идеал, к которому должно стремиться формирование теоретических понятий, на деле никогда не достигая чистоты и последовательности?

Но что теперь значит теорема Фалеса, когда она втянута в акт измерения-отмеривания величин? Две «оси» – две стороны угла, соотнесенные параллельными прямыми, есть особый прибор, превращающий время в пространство, а пространство – в измеряемую величину. Этот прибор есть теоретическое понятие числовой прямой.

В учебниках РО для первого класса дети работают с эмпирическим понятием числовой прямой. Это – та дорожка, на которой располагаются результаты измерения – натуральные числа. Использовать эмпирическое понятие числовой прямой для построения дробей не удается: нет способа построения дробей, нет прибора для перехода к дробным мерам. Теоретическое понятие числовой прямой есть способ построения любого целого и дробного числа. Теоретическое понятие числовой прямой есть угол, совокупность двух лучей. Первый луч – это величина, первоначально полученная непрерывным движением точки O. Это - длина или пространственная координата, то, что в математике называют осью x. Второй луч – это «ось t », временная ось. Здесь в виде одинаковых пространственных интервалов – отрезков – изображены метки – натуральные числа. В виде бесконечного количества одинаковых отрезков изображен ритм счета, множество меток – «разов». Эти «разы» сосчитываются, так появляются – на временной оси – натуральные числа 1, 2, 3 – временные координаты.

Заметим, что время может выражаться только натуральными числами. Половины, трети, четверти единицы (метки, темпа, отдельности) не существует. Единица, метка, отдельность неделима и представляет собой квант времени: «раз». Временная ось существует вечно, тождественна сама себе и является упорядоченным множеством натуральных чисел – задающих ритм будущего измерения. Измерения еще нет, но временная ось уже есть, она сама себя измеряет, впрок «тикает», ожидая величину. Пространственные оси «приходят и уходят», превращаясь при встрече со временем в шкалы (температуры, веса и пр.), в линейки. Произвольно проводя первую из будущих параллельных прямых, мы разрезаем пространственную ось и получаем меру e. Число «один» у нас уже было до измерения, а теперь с помощью этого числа (единицы времени) мы задаем скорость, с помощью которой будем отмеривать величину. Проводя остальные параллельные прямые, мы выстраиваем множество натуральных чисел (скоростей) на оси x. Чтобы получить на этой же оси множество рациональных чисел, нужно научиться произвольно замедлять измерение, изменяя угол падения параллельных лучей.

Не очень ясна деятельностная природа этого процесса установления подобия осей. Можно, например, мыслить числа 1, 2, 3... на оси времени как некие «столбики», а параллельные прямые – как тени этих столбиков, возникающие при освещении данного прибора лучами света. Тогда прибор Фалеса превращается в проективное пространство, и мы получаем шанс деятельностного определения проективной геометрии и проективного (а не метрического, как в обычных учебниках) понимания параллельности. Информация о ритме распространяется со скоростью света, а не мгновенно, как при откладывании отрезка. Кроме того, наш прибор очень уж напоминает пространственно-временные диаграммы, на которых обычно иллюстрируют справедливость частной теории относительности. Случайно ли это?

Из-за чего построение столь важной для Г. А. Цукерман нормы научного познания оборачивается процессом открытого, незавершенного (и в этом смысле – принципиально ненормируемого) размышления, так и не приводящего ученого к созданию однозначной и устойчивой знаковой конструкции, которую потом можно поместить в учебник и объявить нормой?

Это происходит именно потому, что ученый (В. В. Давыдов) героически стремится к невозможному: построить содержательно-теоретическое математическое понятие. В. В. Давыдов предлагает гениальную мыслительную авантюру: заново выстроить всю математику (или хотя бы существенный ее раздел) так, чтобы это была та же самая математика (например, чтобы в ней были обыкновенные дроби), но при этом все ее понятия были деятельностно обоснованы и поняты как развертывание единой «клеточки», как решение единой задачи. И это никакая не норма научного размышления, которую можно зафиксировать в учебниках, а очень красивая и спорная исследовательская программа. Причем вовсе не с гарантированным позитивным исходом осуществления. Вполне возможно, утопия. Вполне возможно, теоретическая авантюра, порождающая при попытке последовательного и ответственного осуществления глубокие и продуктивные вопросы, «монстры», парадоксы. И эти монстры и парадоксы, «вечные проблемы бытия» возникают не на обочине нормативно обустроенной дороги «восхождения», а как раз в самой сердцевине строящихся теоретических понятий, на самом что ни на есть магистральном (а не маргинальном) пути их построения.

Именно эта авторская исследовательская программа В. В. Давыдова по созданию иной, деятельностно понятой, математики, есть вожделенная «норма» (лучше сказать, форма) взрослой, идеальной жизни, которая может быть положена в основу Развивающего обучения математики. Создание такой «нормы» (идеальной формы) жизни взрослых людей и включение в ее построение и удержание школьников сразу вводит нас в область «вечных» проблем, загадок и парадоксов, которых никогда не старался избегать В. В. Давыдов.

В. В. Давыдов создавал новый культурный опыт обращения с понятиями. Этот опыт не является «анонимным», «ничьим». Это – авторская версия понимания науки в целом, за которую В. В. Давыдов никогда не боялся нести ответственность. И когда Вы, уважаемая Галина Анатольевна, вводите своих первоклассников в мир отдельных звуков, изображаемых метками, а затем – в мир теоретического понятия фонемы, Вы выступаете отнюдь не как носитель и транслятор анонимного, «ничейного» знания, зафиксированного в учебнике. Нет, Вы предлагаете Вашим детям совершить многолетнюю мыслительную авантюру, вооружившись очень красивой, очень привлекательной, но чрезвычайно сомнительной, антиномичной, парадоксальной, спорной версией понимания того, что есть современный русский язык. И это замечательно, что и Вы, и В. В. Давыдов не транслируете детям нормативные знания, а сразу включаете ребят в сложный процесс создания и удержания особого, оригинального, авторского (автор В. В. Давыдов; автор В. В. Репкин) видения предмета познания. Только давайте отдавать себе отчет, что и при звуковом анализе, и при выделении сильных и слабых позиций звуков, и при составлении орфографической тетради происходит именно это, а вовсе не превращение фиксированного в учебниках анонимного нормированного опыта – в индивидуальное достояние ребенка.

Добросовестное осуществление формирования теоретического понятия, тщательная и без купюр реализация исследовательской программы В. В. Давыдова превращает теоретическое понятие – в вариант диалогического понятия, в понятие – проблему, в «вечный вопрос бытия». Без углубления в вечные вопросы бытия теоретическое понятие уже и понятием не является, превращаясь в средство решения задач. Другое дело, что диалогизм нововременных («теоретических») понятий обнаруживается именно в ходе осуществления героической попытки решить возникшую задачу с помощью развития (от абстрактного к конкретному) исходного понятия, без привлечения понятий эмпирического типа. Каждый раз продумывание до конца, до глубины, возможности такого «восхождения», обнаруживает глубинные трудности, странности, парадоксы, «вечные вопросы», загадки, превращающее «теоретическое» понятие – в нововременное диалогическое понятие. Это понятие всегда стремится стать орудием, машиной, средством решения задач, в конечном счете – учебником, совокупностью культурных норм. Но это ему никогда не удается до конца. В явном виде это борение внутри нововременного диалогического понятия реконструировано (или, вернее сказать, сконструировано) Галилео Галилеем в диалоге Сальвиати, Симпличио и Сагредо, и глубоко проанализировано В. С. Библером [Библер, 1975]. Эти же логические процессы мы обнаруживаем в мышлении и деятельности В. В. Давыдова – «последнего гегельянца ХХ века».

---

ЛИТЕРАТУРА.

Айдарова Л. И. Формирование лингвистического отношения к слову у младших школьников. – Возрастные возможности усвоения знаний. М. 1966.

Аронов А. М. Программа по математике. Методическая разработка. 5 класс. Красноярск, 1993.

Аронов А. М. Об особенностях учебной деятельности младших подростков. - Л. С. Выготский и школа. М. 1994.

Аронов А. М., Курганов С. Ю. Формирование содержательно - теоретического понятия величины у младших подростков. - Педагогический ежегодник. Красноярск, 1995.

Арсеньев А. С., Библер В. С., Кедров Б. М. Анализ развивающегося понятия. М., 1967.

Ахутин А. В. Открытие сознания (древнегреческая трагедия). - Человек и культура. М. 1990.

Бархаев Ю. П., Захарова А. М. Выделение предметной области теории как предпосылка содержательного обобщения ( на материале числовых систем). - Вестник Харьковского ун-та. 1980. Психология памяти и обучения. № 200.

Берлянд И. Е. Загадки числа. (Воображаемые уроки в 1 классе Школы диалога культур). М. 1996.

Божович Л. И. Личность и ее формирование в детском возрасте. М., 1968.

Библер В. С. Мышление как творчество. М. 1975.

Библер В. С. Школа диалога культур. - Советская педагогика, 1988, № 11.

Библер В. С. М. М. Бахтин или поэтика культуры. М., 1991.

Библер В. С. Диалог культур и школа ХХI века. - ШДК. Идеи. Опыт. Проблемы. Кемерово, 1993.

Библер В. С. Целостная концепция ШДК. - Психологическая наука и образование. 1996. № 4.

Боданский Ф. Г. , Курганов С. Ю. , Фещенко Т. И. Формирование всеобщего способа действия как психологическая предпосылка организации учебной деятельности при расширении изучаемой числовой области. - Вестник Харьковского ун-та. 1977. Психология. № 155.

Гальперин П. Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. - Исследование мышления в советской психологии. М., 1966.

Гальперин П. Я. , Георгиев Л. С. Психологические вопросы формирования начальных математических понятий у детей. - Доклады АПН РСФСР, 1961, № 1.

Гейзенберг В. Физика и философия. Часть и целое. М., 1990.

Давыдов В. В. Образование начального понятия о количестве у детей. - Вопросы психологии, 1957, № 2.

Давыдов В. В. Анализ строения счета как предпосылка построения программы по арифметике. - Вопросы психологии учебной деятельности младших школьников. М ., 1962.

Davydow V. Seven-year-old thinkers ? Why not? - USSR. Soviet life today. Wachington, 1964, № 11.

Давыдов В. В. Логико-психологические проблемы начальной математики как учебного предмета. - Возрастные возможности усвоения знаний. М., 1966.

Давыдов В. В. Психологические особенности «дочислового» периода обучения математики. Там же.

Давыдов В. В. Психологический анализ действия умножения. - Психологические возможности младших школьников в усвоении математики. М., 1969.

Давыдов В. В., Цветкович Ж. О предметных источниках понятия дроби. Там же.

Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М., 1972.

Давыдов В. В. , Андронов В. П. Психологические условия происхождения идеальных действий. - Вопросы психологии. 1979, № 5.

Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения. М., 1986.

Давыдов В. В. , Слободчиков В. И., Цукерман Г. А. Младший школьник как субъект учебной деятельности. - Вопросы психологии, 1992, № 4.

Дадоджанов Я. Воспитание диалектико - материалистических взглядов учащихся на материале геометрии. - Коммунистическое воспитание учащихся в процессе овладения основами наук. М., 1979.

Дусавицкий А. К. Межличностные отношения в младшем школьном возрасте и их зависимость от способа обучения. - Вопросы психологии, 1983, № 1.

Жедек П. С., Репкин В. В. Из опыта изучения закономерностей русской орфографии. - Обучение орфографии в восьмилетней школе. М., 1974.

Ильенков Э. В. Диалектика абстрактного и конкретного в «Капитале» Маркса. М., 1960.

Ильенков Э. В. Количество. Философская энциклопедия, М., 1962, т. 2.

Ильенков Э. В. Диалектическая логика. М., 1984.

Корчак Я. Избранное. М., 1990.

Курганов С. Ю. Диалог как способ творческого мышления учителя и ученика на уроке - Человек в зеркале культуры и образования. М., 1988.

Курганов С. Ю. Ребенок и взрослый в учебном диалоге. М. 1989.

Курганов С. Ю. Первоклассники и учитель в учебном диалоге. - ШДК. Идеи. Опыт. Проблемы. М., 1993.

Курганов С. Ю. Машкина школа. Неучебник по математике для 3 класса. - Начальная школа. Приложение к газете « 1 сентября». 1993 № 5, 1995, № 4.

Лакатос И. Доказательства и опровержения. М., 1967.

Матвеева Н. И. Психологический анализ измерения физических величин как учебного действия. Автореферат канд. дисс. на соиск. учен. степени канд. психол. наук. М,, 1973.

Микулина Г. Г. Психологические особенности решения задач с буквенными данными. - Психологические возможности младших школьников в усвоении математики. М., 1969.

Осетинский В. З. О концепции и программе курса «Мировая литература» - Роль инновационных процессов в развитии школы. Харьков, ХОИУУ, 1996.

Осетинский В. З. О диалоге историко - культурных логик понимания литературного произведения в диалогическом гуманитарном образовании. - Международный семинар по гуманистической психологии. Киев - ровно, 1998.

Панов М. В. Русская фонетика. М. 1967.

Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М. 1990.

Хайдеггер М. Искусство и пространство. - Самосознание европейской культуры ХХ века. М., 1991.

Хо Нгок Дай. О возможности усвоения младшими школьниками алгебраической операции. - Вопросы психологии, 1971, № 1.

Хо Нгок Дай. Психологические вопросы построения курса математики в начальной школе. - Вопросы психологии, 1976, № 6.

Цукерман Г. А. Виды общения в обучении. Томск, 1993.

Шулешко Е. Е. Обучение чтению и преподавание русского языка. - Советская педагогика, 1964, № 8.

Шулешко Е. Е. Открытость и преемственность образования. Из книги «Понимание грамотности и преемственность в начальном образовании детей от 5 до 11 лет». - Детский сад со всех сторон, 2000, № 9.

Эльконин Д. Б. Опыт психологического исследования в экспериментальном классе. - Вопросы психологии, 1960, № 5.

Юшков А. Н. Психологические особенности становления детской вопросительности на уроках - диалогах в начальной школе. Автореферат дисс. на соиск. уч. степени канд. психол. наук. Иркутск, 1997.

Юшков А. Н. Ода своему заповеднику. «1 сентября», 1997, № 60.

Юшков А. Н., Курганов С. Ю. Результаты исследования учебного диалога как педагогической процедуры. Педагогика развития. Красноярск, 1996, ч.2.